ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 23.19 точка \(A_1\) образ точки А при гомотетии с коэффициентом: 1) \(k = 3\); 2) \(k = 2\). Постройте центр гомотетии.

Центр гомотетии \(O\) находится на прямой \(AA_1\) и вычисляется по формуле \(O = \frac{A_1 — kA}{1 — k}\).

Для \(k=3\): \(O = \frac{A_1 — 3A}{1 — 3} = \frac{A_1 — 0}{-2} = -\frac{A_1}{2}\).

Для \(k=2\): \(O = \frac{A_1 — 2A}{1 — 2} = \frac{A_1 — 0}{-1} = -A_1\).

Таким образом, центр гомотетии находится слева от точки \(A\) на продолжении отрезка \(AA_1\) в точках, удалённых на \(\frac{1}{2}\) и 1 отрезок \(AA_1\) соответственно.

Центр гомотетии \(O\) — это точка, относительно которой происходит масштабирование фигуры с коэффициентом \(k\). При гомотетии точка \(A\) переходит в точку \(A_1\), и вектор \(\overrightarrow{OA_1}\) равен \(k\) умноженному на вектор \(\overrightarrow{OA}\), то есть \(\overrightarrow{OA_1} = k \cdot \overrightarrow{OA}\). Это означает, что центр гомотетии \(O\) лежит на прямой, проходящей через точки \(A\) и \(A_1\), и делит отрезок в определённом отношении, зависящем от коэффициента \(k\).

Для нахождения координат центра \(O\) используется формула \(O = \frac{A_1 — kA}{1 — k}\), где \(A\) и \(A_1\) — координаты исходной и образующей точек соответственно. Если представить точки на числовой оси, то \(O\) можно найти как точку, которая при умножении расстояния от неё до \(A\) на коэффициент \(k\) даёт расстояние до \(A_1\). При \(k > 1\) центр гомотетии находится за точкой \(A\) в направлении, противоположном \(A_1\), а при \(0 < k < 1\) — между \(A\) и \(A_1\).

Для конкретных значений коэффициентов \(k=3\) и \(k=2\) подставим в формулу: для \(k=3\) получаем \(O = \frac{A_1 — 3A}{1 — 3} = \frac{A_1}{-2} = -\frac{A_1}{2}\), а для \(k=2\) — \(O = \frac{A_1 — 2A}{1 — 2} = \frac{A_1}{-1} = -A_1\). Это значит, что центр гомотетии находится слева от точки \(A\) на продолжении прямой \(AA_1\) на расстоянии, равном половине отрезка \(AA_1\) для \(k=3\) и целому отрезку \(AA_1\) для \(k=2\).