ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 23.20 изображены прямоугольник ABCD и точки А1 и D1, являющиеся образами соответственно точек А и D при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Образ прямоугольника построить, найдя точки \(B_1\) и \(C_1\) так, чтобы \(A_1B_1 \perp A_1D_1\) и длины были масштабированы на коэффициент подобия \(k = \frac{|A_1D_1|}{|AD|}\).

Задача имеет 2 решения из-за двух возможных направлений поворота (ориентаций).

Преобразование подобия сохраняет углы и масштабирует длины с некоторым коэффициентом \(k\). Известно, что точка \(A\) переходит в \(A_1\), а точка \(D\) — в \(D_1\). Длина отрезка \(AD\) при этом преобразуется в длину \(A_1D_1\), следовательно коэффициент подобия равен \(k = \frac{|A_1D_1|}{|AD|}\). Так как прямоугольник имеет прямые углы, то при преобразовании подобия угол между сторонами \(AB\) и \(AD\) сохраняется, значит образ \(A_1B_1C_1D_1\) будет также прямоугольником.

Чтобы построить точки \(B_1\) и \(C_1\), нужно учитывать, что в исходном прямоугольнике \(AB \perp AD\), значит в образе \(A_1B_1 \perp A_1D_1\). Длина \(A_1B_1\) равна \(k \cdot |AB|\). Точка \(B_1\) находится на перпендикуляре к отрезку \(A_1D_1\), исходящем из \(A_1\), на расстоянии \(k \cdot |AB|\). Точка \(C_1\) строится как сумма векторов \(A_1D_1\) и \(A_1B_1\), то есть \(C_1 = A_1 + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{A_1B_1}\).

Задача имеет два решения, потому что перпендикуляр к отрезку \(A_1D_1\) из точки \(A_1\) может быть направлен в две стороны — вверх или вниз относительно \(A_1D_1\). Это соответствует двум возможным ориентациям образа прямоугольника: одна — совпадает с ориентацией исходного, другая — зеркальное отражение. Таким образом, при заданных образах двух точек \(A_1\) и \(D_1\) существуют ровно два варианта построения образа всего прямоугольника ABCD.