ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 23.21 изображены прямоугольник ABCD и точки А1 и С1, являющиеся образами соответственно точек А и С при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Образ прямоугольника \(ABCD\) строится путём применения преобразования подобия, которое переводит \(A\) в \(A_1\) и \(C\) в \(C_1\). Масштаб равен отношению длин отрезков \(A_1C_1\) и \(AC\), угол поворота определяется по направлению векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_1C_1}\). Применяя масштаб и поворот к точкам \(B\) и \(D\), получаем \(B_1\) и \(D_1\). Задача имеет два решения из-за возможных двух направлений поворота (по часовой и против часовой стрелки).

Для построения образа прямоугольника \(ABCD\) при преобразовании подобия, заданном образами точек \(A \to A_1\) и \(C \to C_1\), необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала вычисляем вектор \(\overrightarrow{AC} = (x_C — x_A, y_C — y_A)\) и вектор \(\overrightarrow{A_1C_1} = (x_{C_1} — x_{A_1}, y_{C_1} — y_{A_1})\). Длины этих векторов равны \(AC = \sqrt{(x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2}\) и \(A_1C_1 = \sqrt{(x_{C_1} — x_{A_1})^2 + (y_{C_1} — y_{A_1})^2}\).

Масштаб преобразования подобия равен \(k = \frac{A_1C_1}{AC}\).

Далее находим угол поворота \(\theta\), необходимый для совмещения вектора \(\overrightarrow{AC}\) с вектором \(\overrightarrow{A_1C_1}\). Для этого используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos \theta = \frac{(x_C — x_A)(x_{C_1} — x_{A_1}) + (y_C — y_A)(y_{C_1} — y_{A_1})}{AC \cdot A_1C_1}\).

Синус угла можно найти по формуле:

\(\sin \theta = \frac{(x_C — x_A)(y_{C_1} — y_{A_1}) — (y_C — y_A)(x_{C_1} — x_{A_1})}{AC \cdot A_1C_1}\).

Преобразование подобия действует как масштабирование на \(k\), затем поворот на угол \(\theta\), и сдвиг так, чтобы \(A\) переходила в \(A_1\).

Для любой точки \(P = (x, y)\) образ \(P_1 = (x_1, y_1)\) вычисляется по формулам:

\(x_1 = x_{A_1} + k \cdot ((x — x_A) \cos \theta — (y — y_A) \sin \theta)\),

\(y_1 = y_{A_1} + k \cdot ((x — x_A) \sin \theta + (y — y_A) \cos \theta)\).

Применяем эти формулы к точкам \(B\) и \(D\), чтобы получить \(B_1\) и \(D_1\).

Проверяем, что четырехугольник \(A_1B_1C_1D_1\) сохраняет свойства прямоугольника: стороны попарно равны и углы прямые.

Задача имеет два решения, так как угол поворота может быть равен \(\theta\) или \(-\theta\), то есть возможны два направления поворота — по часовой и против часовой стрелки, что даёт два различных образа прямоугольника.