ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте образ треугольника АВС при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром О и коэффициентом \(k = 2\) и осевой симметрии относительно прямой l (рис. 23.22). Укажите коэффициент подобия.

Образ треугольника \(ABC\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k=2\) — треугольник \(A’B’C’\), где \(OA’ = 2 \cdot OA\), \(OB’ = 2 \cdot OB\), \(OC’ = 2 \cdot OC\). Затем отражаем \(A’B’C’\) относительно прямой \(l\), получая \(A»B»C»\). Коэффициент подобия равен \(2\).

Пусть даны треугольник \(ABC\), центр гомотетии \(O\) и прямая симметрии \(l\).

Сначала применяем гомотетию с центром \(O\) и коэффициентом \(k=2\). Для каждой вершины треугольника \(A, B, C\) строим соответствующие точки \(A’, B’, C’\) так, чтобы \(OA’ = 2 \cdot OA\), \(OB’ = 2 \cdot OB\), \(OC’ = 2 \cdot OC\). Это означает, что каждая точка смещается вдоль луча, исходящего из \(O\), в два раза дальше от центра.

Далее к треугольнику \(A’B’C’\) применяем осевую симметрию относительно прямой \(l\). Для каждой точки \(A’, B’, C’\) строим отражённые точки \(A», B», C»\), которые лежат на перпендикулярах к прямой \(l\), проходящих через \(A’, B’, C’\), на одинаковом расстоянии с другой стороны от \(l\).

В результате композиции гомотетии и осевой симметрии получаем треугольник \(A»B»C»\), который является образом исходного треугольника \(ABC\).

Коэффициент подобия при гомотетии равен \(2\), так как длины увеличиваются в 2 раза. При осевой симметрии длины сохраняются, коэффициент равен \(1\). Следовательно, общий коэффициент подобия композиции равен произведению коэффициентов, то есть \(2 \times 1 = 2\).

Таким образом, образ треугольника \(ABC\) — треугольник \(A»B»C»\), полученный сначала увеличением в 2 раза относительно центра \(O\), затем отражением относительно прямой \(l\). Коэффициент подобия равен \(2\).