ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Отметьте точку О на расстоянии 4 см от её центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром О и коэффициентом \(k = 1\) и поворота с центром О по часовой стрелке на угол 45°. Укажите коэффициент подобия.

Гомотетия с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\) уменьшает радиус окружности в два раза: \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) см. Поворот на \(45^\circ\) не меняет размеры. Итоговый коэффициент подобия равен \(k = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\).

Дана окружность с радиусом \(2\) см и центр в точке \(C\). Точка \(O\) расположена на расстоянии \(4\) см от \(C\). Рассмотрим два преобразования: гомотетию с центром в точке \(O\) и коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\), а затем поворот вокруг той же точки \(O\) на угол \(45^\circ\).

Гомотетия с коэффициентом \(k = \frac{1}{2}\) означает, что все точки фигуры смещаются относительно центра гомотетии \(O\) так, что расстояния от \(O\) уменьшаются в два раза. В частности, радиус окружности, который изначально равен \(2\) см, после гомотетии станет равен \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) см. Это происходит потому, что гомотетия масштабирует все длины на коэффициент \(k\), сохраняя форму и пропорции, но изменяя размер.

Второе преобразование — поворот на \(45^\circ\) вокруг точки \(O\). Поворот является движением, сохраняющим расстояния и размеры, то есть он не изменяет радиус окружности, а только меняет её ориентацию и положение в пространстве. Таким образом, после поворота радиус окружности останется равным \(1\) см, полученному после гомотетии.

Итоговый коэффициент подобия всего преобразования равен произведению коэффициентов каждого из преобразований. Поскольку поворот имеет коэффициент подобия равный \(1\), а гомотетия — \(\frac{1}{2}\), то общий коэффициент подобия равен \(k = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\). Это означает, что итоговая фигура подобна исходной с масштабированием в два раза меньше.