ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 23.23 изображены две параллельные прямые а и b. Постройте центр гомотетии, при которой прямая b является образом прямой а с коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = \frac{1}{2}\); 3) \(k = \frac{1}{2}\). Сколько решений имеет задача?

Для параллельных прямых существует два центра гомотетии с коэффициентами \(k\) и \(\frac{1}{k}\). Они лежат на прямых, соединяющих соответствующие точки \(A_i\) и \(B_i\), и делят отрезки в отношении \(1 : k\) и \(k : 1\) соответственно.

Пусть даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\), на которых расположены точки \(A_1, A_2 \in a\) и соответствующие им точки \(B_1, B_2 \in b\). Требуется найти центр гомотетии \(O\) с коэффициентом \(k\), при котором \(B_i\) является образом точки \(A_i\).

По определению гомотетии для каждой точки выполняется равенство векторов: \(\overrightarrow{OB_i} = k \cdot \overrightarrow{OA_i}\).

Поскольку \(a\) и \(b\) параллельны, точки \(A_i, B_i\) и центр \(O\) лежат на одной прямой. Центр гомотетии \(O\) лежит на прямой, проходящей через \(A_i\) и \(B_i\), и делит отрезок \(A_i B_i\) в отношении \(OA_i : OB_i = 1 : k\).

Рассмотрим прямые, соединяющие пары точек \(A_1 B_1\) и \(A_2 B_2\). Эти прямые либо пересекаются в точке \(O\), либо параллельны.

Если они параллельны, то решения нет, так как центр гомотетии не существует.

Если они пересекаются, то точка пересечения \(O\) является центром гомотетии с коэффициентом \(k\).

Кроме того, существует второй центр гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{k}\), который находится на той же линии, но с обратным отношением деления отрезков.

Таким образом, для параллельных прямых существует ровно два центра гомотетии: один с коэффициентом \(k\), другой с коэффициентом \(\frac{1}{k}\).

Для примеров:

— При \(k=2\) центры гомотетии делят отрезки в отношении \(1 : 2\) и \(2 : 1\).

— При \(k=\frac{1}{2}\) центры делят отрезки в отношении \(1 : \frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2} : 1\).

— При \(k=-\frac{1}{2}\) центры лежат на продолжениях отрезков с отношениями \(1 : -\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2} : 1\).

Таким образом, задача имеет два решения, соответствующие коэффициентам \(k\) и \(\frac{1}{k}\).