ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите трапецию ABCD, основание ВС которой в два раза меньше основания AD. Постройте центр гомотетии, при которой отрезок AD является образом отрезка ВС с коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = 2\).

Центр гомотетии \(O\) находится как точка пересечения прямых, проходящих через пары точек \(A_1 B_1\) и \(A_2 B_2\). Коэффициент гомотетии \(k\) определяется отношением деления отрезка \(A_i B_i\) точкой \(O\): \(OA_i : OB_i = 1 : k\). Существует два центра гомотетии с коэффициентами \(k\) и \(\frac{1}{k}\), лежащих на одной прямой и делящих отрезки в обратном отношении.

Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\), на которых расположены точки \(A_1, A_2\) и \(B_1, B_2\) соответственно. Нужно найти центр гомотетии \(O\) и коэффициент \(k\), при которых \(B_i\) является образом точки \(A_i\) при гомотетии с центром \(O\).

Пусть векторные позиции точек относительно центра гомотетии \(O\) обозначены как \(\overrightarrow{OA_i}\) и \(\overrightarrow{OB_i}\). По определению гомотетии выполняется равенство \(\overrightarrow{OB_i} = k \cdot \overrightarrow{OA_i}\) для всех \(i\).

Поскольку \(a \parallel b\), точки \(A_i, B_i\) и центр \(O\) лежат на одной прямой, проходящей через \(A_i\) и \(B_i\). Центр гомотетии \(O\) делит отрезок \(A_i B_i\) в отношении \(OA_i : OB_i = 1 : k\).

Для нахождения центра \(O\) нужно построить прямые, проходящие через пары соответствующих точек: \(A_1 B_1\) и \(A_2 B_2\). Точка их пересечения и будет искомым центром гомотетии.

Если прямые \(A_1 B_1\) и \(A_2 B_2\) параллельны, то центра гомотетии не существует, так как нет единой точки, для которой выполнялось бы равенство \(\overrightarrow{OB_i} = k \cdot \overrightarrow{OA_i}\) одновременно для всех точек.

Коэффициент гомотетии \(k\) определяется из отношения деления отрезка \(A_i B_i\) точкой \(O\). Если длина \(OA_i = d_1\), а длина \(OB_i = d_2\), то \(k = \frac{d_2}{d_1}\).

Существует два центра гомотетии, связанные коэффициентами \(k\) и \(\frac{1}{k}\), которые лежат на одной прямой и делят отрезки в обратном отношении.