ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD точка D1 середина стороны AD. При гомотетии с центром А точка D1 является образом точки D. Найдите коэффициент гомотетии. Укажите, какие точки являются образами точек В и С при этой гомотетии.

Коэффициент гомотетии \( k = \frac{1}{2} \). Образ точки \( B \) — середина \( AB \), образ точки \( C \) — середина \( AC \).

В параллелограмме ABCD дана точка D1, являющаяся серединой стороны AD. При гомотетии с центром в точке A точка D переходит в точку D1.

По определению гомотетии, для любой точки X выполняется равенство \( \overrightarrow{A X_1} = k \cdot \overrightarrow{A X} \), где k — коэффициент гомотетии, а \(X_1\) — образ точки X.

Так как D1 — середина отрезка AD, то вектор \( \overrightarrow{A D_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A D} \).

Приравнивая это к формуле гомотетии, получаем \( k \cdot \overrightarrow{A D} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A D} \), отсюда коэффициент гомотетии \( k = \frac{1}{2} \).

Теперь найдём образы точек B и C. Для точки B образ \( B_1 \) определяется как \( \overrightarrow{A B_1} = k \cdot \overrightarrow{A B} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \), значит \( B_1 \) — середина отрезка AB.

Аналогично для точки C образ \( C_1 \) определяется как \( \overrightarrow{A C_1} = k \cdot \overrightarrow{A C} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \), значит \( C_1 \) — середина отрезка AC.

Ответ: коэффициент гомотетии \( k = \frac{1}{2} \), образ точки B — середина AB, образ точки C — середина AC.