ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какие из фигур, изображённых на рисунке 23.25, совпадают со своими образами при гомотетии с центром О и коэффициентом \(k < 0\)?

Фигуры, совпадающие со своими образами при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k < 0\): б, г.

Объяснение: при \(k < 0\) фигура поворачивается на 180° вокруг \(O\). Прямые, проходящие через \(O\) (фигура б и г), совпадают с собой после такого поворота.

Гомотетия с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k < 0\) означает, что каждая точка фигуры переводится на прямую, проходящую через \(O\), при этом расстояние от \(O\) умножается на \(|k|\), а направление меняется на противоположное. То есть фигура при таком преобразовании поворачивается на 180° вокруг точки \(O\).

Рассмотрим каждую фигуру.

Фигура а — два луча, исходящих из \(O\) под острым углом. При повороте на 180° лучи займут положение, противоположное исходному, то есть не совпадут с собой. Значит, фигура а не совпадает с образом при гомотетии с \(k < 0\).

Фигура б — две пересекающиеся в точке \(O\) прямые. Поворот на 180° вокруг \(O\) переводит каждую прямую в саму себя, так как прямая бесконечна и симметрична относительно точки пересечения. Значит, фигура б совпадает с образом.

Фигура в — два луча, исходящих из \(O\), но не образующих пересечения прямых. При повороте эти лучи сместятся в противоположные направления и не совпадут с исходным положением. Значит, фигура в не совпадает.

Фигура г — прямая с точкой \(O\) на ней. Поворот на 180° вокруг \(O\) оставляет прямую на месте, так как прямая симметрична относительно точки на ней. Значит, фигура г совпадает.

Фигура д — отрезок с точкой \(O\) на нем. При повороте на 180° отрезок изменит направление и не совпадет с исходным положением. Значит, фигура д не совпадает.

Ответ: фигуры б и г совпадают со своими образами при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k < 0\).