ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите отрезок АВ. Постройте образ этого отрезка при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром: 1) в точке A, \(k = 3\); 2) в точке В, \(k = 2\); 3) в середине отрезка AB, \(k = 2\).

1) При гомотетии с центром в \(A\) и коэффициентом \(k=3\) точка \(B\) переводится в \(B’\) так, что \(AB’ = 3 \cdot AB\). Отрезок \(AB’\) в 3 раза длиннее исходного, начинается в \(A\).

2) При гомотетии с центром в \(B\) и коэффициентом \(k=-2\) точка \(A\) переводится в \(A’\) так, что \(BA’ = 2 \cdot BA\) в противоположную сторону. Отрезок \(A’B\) направлен в сторону, противоположную \(AB\), и в 2 раза длиннее.

3) При гомотетии с центром в середине \(M\) отрезка \(AB\) и коэффициенте \(k=2\) точки \(A\) и \(B\) переводятся в \(A’\) и \(B’\) с расстояниями \(MA’ = 2 \cdot MA\), \(MB’ = 2 \cdot MB\). Отрезок \(A’B’\) в 2 раза длиннее исходного, симметрично растянут относительно \(M\).

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка \(M\) отображается в точку \(M’\) на луче \(OM\) (где \(O\) — центр гомотетии) так, что \(OM’ = k \cdot OM\), где \(k\) — коэффициент гомотетии.

1) Центр гомотетии в точке \(A\), \(k = 3\).

Точка \(A\) остаётся неподвижной, так как она центр. Рассмотрим точку \(B\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) умножаем на 3, получаем \(\overrightarrow{AB’} = 3 \cdot \overrightarrow{AB}\). Значит, \(B’\) лежит на продолжении отрезка \(AB\) в сторону \(B\) и расстояние \(AB’ = 3 \cdot AB\). Новый отрезок \(AB’\) в 3 раза длиннее исходного.

2) Центр гомотетии в точке \(B\), \(k = -2\).

Точка \(B\) фиксирована. Рассмотрим точку \(A\). Вектор \(\overrightarrow{BA}\) умножаем на \(-2\), получаем \(\overrightarrow{BA’} = -2 \cdot \overrightarrow{BA}\). Это значит, что \(A’\) лежит на продолжении луча, противоположном направлению \(BA\), и расстояние \(BA’ = 2 \cdot BA\). Отрезок \(A’B\) направлен в сторону, противоположную \(AB\), и в 2 раза длиннее исходного.

3) Центр гомотетии в середине отрезка \(AB\), обозначим её \(M\), \(k = 2\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), значит \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). При гомотетии каждая точка \(X\) переходит в \(X’\), где \(\overrightarrow{MX’} = 2 \cdot \overrightarrow{MX}\).

Для точки \(A\) имеем \(\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\), тогда \(\overrightarrow{MA’} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\right) = -\overrightarrow{AB}\), то есть \(A’\) лежит на продолжении отрезка \(AM\) в сторону, противоположную \(B\), на расстоянии, равном длине \(AB\).

Для точки \(B\) \(\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\), тогда \(\overrightarrow{MB’} = 2 \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}\), то есть \(B’\) лежит на продолжении отрезка \(MB\) в сторону \(B\), на расстоянии, равном длине \(AB\).

Таким образом, отрезок \(A’B’\) в 2 раза длиннее исходного и симметрично растянут относительно середины \(M\).