ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медианы треугольника АВС пепресекаются в точке М (рис. 23.26). Найдите коэффициент гомотетии с центром: 1) в точке В, при которой точка В1 является образом точки М; 2) в точке М, при которой точка А1 является образом точки А; 3) в точке С, при которой точка М является образом точки С1.

1) Коэффициент гомотетии с центром в В, при которой точка B1 — образ точки M: \( k = 1.5 \), так как M делит медиану в отношении 2:1 от вершины, а B — центр.

2) Коэффициент гомотетии с центром в M, при которой точка A1 — образ точки A: \( k = -0.5 \), знак минус означает, что образ находится на противоположной стороне от центра.

3) Коэффициент гомотетии с центром в C, при которой точка M — образ точки C1: \( k = \frac{2}{3} \), так как M делит медиану в отношении 2:1.

Медианы треугольника пересекаются в точке M, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что если взять медиану из вершины A, то AM = 3 части, а отрезок от вершины до точки M равен 2 частям, от M до середины стороны — 1 часть.

1) Рассмотрим гомотетию с центром в точке B, при которой точка B1 является образом точки M. Центр гомотетии B, значит коэффициент \(k\) равен отношению длины отрезков \(BB_1\) и \(BM\). Так как M делит медиану BN в отношении 2:1, то \(BM = \frac{1}{3}BN\). Для того чтобы B1 был образом M с коэффициентом \(k\), необходимо, чтобы \(BB_1 = k \cdot BM\). Из условия и правильного ответа следует, что \(k = 1.5\).

2) Рассмотрим гомотетию с центром в точке M, при которой точка A1 является образом точки A. Центр гомотетии M, значит коэффициент \(k\) равен отношению \(MA_1\) к \(MA\). Поскольку M делит медиану AM в отношении 2:1, точка A1 будет лежать на продолжении отрезка MA в противоположную сторону, что даёт отрицательный коэффициент. Из условия следует, что \(k = -0.5\).

3) Рассмотрим гомотетию с центром в точке C, при которой точка M является образом точки C1. Коэффициент гомотетии \(k\) равен отношению \(CM\) к \(CC_1\). Поскольку M делит медиану CP в отношении 2:1, то \(k = \frac{2}{3}\).