ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь треугольника равна S. Найдите площадь треугольника, вершины которого середины средних линий данного треугольника.

Площадь треугольника, вершины которого являются серединами средних линий данного треугольника, равна \( \frac{S}{16} \).

Пусть треугольник \( ABC \) имеет вершины \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) и площадь \( S \). Средние линии \( AB \), \( BC \) и \( CA \) делят треугольник на меньшие треугольники.

Середины сторон \( AB \), \( BC \) и \( CA \) обозначим как \( M \), \( N \) и \( P \) соответственно. Координаты этих точек вычисляются следующим образом:

\( M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)

\( N \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \)

\( P \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) \)

Треугольник \( MNP \) будет подобен треугольнику \( ABC \) с коэффициентом подобия \( \frac{1}{2} \) (так как каждая сторона нового треугольника равна половине соответствующей стороны исходного треугольника).

Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия. Таким образом, площадь треугольника \( MNP \) можно выразить через площадь треугольника \( ABC \):

\[
S_{MNP} = S \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = S \cdot \frac{1}{4}
\]

Однако, поскольку треугольник \( MNP \) является треугольником, образованным серединами средних линий, его площадь будет равна одной четвертой площади треугольника, образованного этими линиями, который, в свою очередь, равен одной четвертой от площади исходного треугольника.

Таким образом, окончательно получаем:

\[
S_{новый} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} S = \frac{S}{16}
\]

Площадь треугольника, вершины которого являются серединами средних линий данного треугольника, равна \( \frac{S}{16} \).