ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Начертите окружность, радиус которой равен 2 см, и отметьте на ней точку А. Постройте образ этой окружности при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром: 1) в центре окружности, \(k = \frac{1}{2}\), \(k = 2\); 2) в точке A, \(k = 2\), \(k = \frac{1}{2}\).
1) Центр гомотетии \(O\), радиус исходной окружности \(2\) см:
— при \(k = \frac{1}{2}\) радиус новой окружности \(= 2 \times \frac{1}{2} = 1\) см
— при \(k = 2\) радиус новой окружности \(= 2 \times 2 = 4\) см
2) Центр гомотетии \(A\), радиус исходной окружности \(2\) см, расстояние \(AO = 2\) см:
— при \(k = 2\) радиус новой окружности \(= 2 \times 2 = 4\) см, центр новой окружности смещён от \(A\) на \(2 \times 2 = 4\) см по прямой \(AO\)
— при \(k = \frac{1}{2}\) радиус новой окружности \(= 2 \times \frac{1}{2} = 1\) см, центр новой окружности смещён от \(A\) на \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) см по прямой \(AO\)
Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются вдоль лучей, исходящих из центра гомотетии, с масштабированием расстояния до центра на коэффициент \(k\). В случае окружности радиус изменяется пропорционально коэффициенту гомотетии, а центр новой окружности определяется положением центра гомотетии и масштабированием расстояния до центра исходной окружности.
Если центр гомотетии совпадает с центром окружности \(O\), то новая окружность сохраняет центр в точке \(O\), а радиус становится равен произведению исходного радиуса на коэффициент \(k\). Для исходного радиуса \(2\) см при \(k = \frac{1}{2}\) радиус новой окружности будет равен \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) см, а при \(k = 2\) радиус увеличится до \(2 \times 2 = 4\) см. Центр окружности не меняется, так как гомотетия с центром в \(O\) оставляет эту точку неподвижной.
Если же центр гомотетии находится в точке \(A\), лежащей на окружности, то ситуация меняется. Радиус новой окружности по-прежнему равен исходному радиусу, умноженному на коэффициент \(k\), то есть \(2 \times k\). Однако центр новой окружности смещается относительно точки \(A\). Поскольку точка \(A\) находится на расстоянии \(2\) см от центра \(O\), центр новой окружности будет лежать на продолжении отрезка \(AO\), но на расстоянии \(k \times |AO| = 2k\) от точки \(A\). При \(k = 2\) центр новой окружности находится на расстоянии \(4\) см от \(A\) по направлению к \(O\), а при \(k = \frac{1}{2}\) — на расстоянии \(1\) см в том же направлении. Таким образом, кроме изменения радиуса, происходит смещение центра окружности вдоль прямой, соединяющей \(A\) и \(O\), пропорциональное коэффициенту гомотетии.