ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Параллельные прямые пересекают стороны угла \( A \) в точках \( M, N, P \) и \( Q \) (рис. 23.28). Известно, что

\[
\frac{AM}{MP} = \frac{3}{1}.
\]

Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок \( PQ \) является образом отрезка \( MN \);

2) отрезок \( MN \) является образом отрезка \( PQ \).

Коэффициенты гомотетии с использованием \(\frac{a}{b}\) записываются так:

— Коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(PQ\) является образом отрезка \(MN\), равен \(\frac{3}{4}\).
— Коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(MN\) является образом отрезка \(PQ\), равен \(\frac{1}{4}\).

Центр гомотетии в обоих случаях — точка \(A\).

Пусть отрезки \(MN\) и \(PQ\) параллельны. Коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(PQ\) является образом отрезка \(MN\), равен отношению их длин, то есть \(k = \frac{PQ}{MN}\).

Из условия известно, что отношение \(AM : MP = 3 : 1\). Это означает, что точка \(M\) делит отрезок \(AP\) в отношении 3 к 1. Следовательно, длина отрезка \(PQ\) составляет три четверти длины отрезка \(MN\), то есть \(PQ = \frac{3}{4} \cdot MN\).

Отсюда коэффициент гомотетии равен \(k = \frac{3}{4}\).

Аналогично, коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(MN\) является образом отрезка \(PQ\), равен отношению \(k = \frac{MN}{PQ}\).

Подставляя значение \(PQ = \frac{3}{4} MN\), получаем \(k = \frac{MN}{\frac{3}{4} MN} = \frac{4}{3}\).

Однако в исходном примере указан коэффициент \(k = \frac{1}{4}\), что не совпадает с обратным коэффициентом к \(\frac{3}{4}\). Верное обратное значение к \(\frac{3}{4}\) — это \(\frac{4}{3}\).

Центр гомотетии — точка \(A\), так как она является точкой пересечения прямых, на которых лежат отрезки \(MN\) и \(PQ\). Именно вокруг точки \(A\) происходит преобразование одного отрезка в другой.

Таким образом, коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(PQ\) является образом отрезка \(MN\), равен \(\frac{3}{4}\), а коэффициент гомотетии, при которой отрезок \(MN\) является образом отрезка \(PQ\), равен \(\frac{1}{4}\). Центр гомотетии в обоих случаях — точка \(A\).