ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности с центрами О1 и О2 соответственно с радиусами R и r касаются внешним образом в точке О (рис. 23.29). Докажите, что окружность с центром O1 является образом окружности с центром О2 при гомотетии с центром О и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\).

Окружность с центром O1 является образом окружности с центром O2 при гомотетии с центром O и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\), так как координаты центра окружности после гомотетии \((0, R)\) совпадают с данными координатами центра O1.

Окружность с центром O1 и радиусом R и окружность с центром O2 и радиусом r касаются внешним образом в точке O. Для доказательства того, что окружность с центром O1 является образом окружности с центром O2 при гомотетии с центром O и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\), необходимо показать, что координаты центра окружности после гомотетии совпадают с координатами центра O1.

Пусть координаты центра окружности с центром O2 равны (0, -r). Применяя гомотетию с центром O и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\), получаем новые координаты центра:

\(x_1 = O + (-\frac{R}{r}) \cdot (0 — O) = 0\)
\(y_1 = O + (-\frac{R}{r}) \cdot (-r — O) = \frac{Rr}{r} = R\)

Таким образом, координаты центра окружности после гомотетии равны (0, R), что совпадает с координатами центра O1. Следовательно, окружность с центром O1 является образом окружности с центром O2 при гомотетии с центром O и коэффициентом \(-\frac{R}{r}\).