ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружности с центрами О1 и О2 соответственно с радиусами R и r касаются внутренним образом в точке О (рис. 23.30). Докажите, что окружность с центром O1 является образом окружности с центром О2 при гомотетии с центром О и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).

Окружность с центром в O1 и радиусом R является образом окружности с центром в O2 и радиусом r при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).

Пусть окружность с центром в O2 и радиусом r является исходной окружностью. Тогда окружность с центром в O1 и радиусом R является образом исходной окружности при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом \(\frac{R}{r}\). Это следует из того, что точка O является общей точкой касания двух окружностей, а отрезок O1O2 является общим касательным к ним. По определению гомотетии, любая прямая, проходящая через центр гомотетии O, при гомотетии переходит сама в себя, а отрезки на этой прямой изменяются в \(\frac{R}{r}\) раз. Следовательно, окружность с центром в O1 и радиусом R является образом окружности с центром в O2 и радиусом r при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).