ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность с центром О касается прямой а. Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром А, где А произвольная точка прямой а (рис. 23.31), касается этой прямой.

При гомотетии окружности с центром O, касающейся прямой a, с центром гомотетии A, лежащим на прямой a, образ окружности также касается прямой a. Это следует из того, что касательная к окружности в точке касания с прямой a проходит через центр гомотетии A.

Пусть окружность с центром O касается прямой a в точке T. Выполним гомотетию с центром A, где A — произвольная точка на прямой a. Докажем, что образ окружности при этой гомотетии также касается прямой a.

Рассмотрим, что при гомотетии прямая OT, являющаяся касательной к окружности в точке T, переходит в прямую AT. Так как гомотетия сохраняет углы, угол между прямой AT и прямой a равен углу между прямой OT и прямой a. Следовательно, прямая AT является касательной к образу окружности при гомотетии с центром A. Таким образом, образ окружности при гомотетии с центром A, где A — произвольная точка на прямой a, касается этой прямой.