ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите треугольник АВС. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром: 1) в точке В, \(k = 3\); 2) в точке С, \(k = 1\); 3) в точке А, \(k = 1\); 4) в середине стороны AB, \(k = \frac{1}{2}\); 5) в середине стороны АС, \(k = \frac{1}{3}\).

1) Центр в точке \(B\), \(k=3\): новые точки \(A’, C’\) лежат на лучах \(BA, BC\) и расстояния \(BA’ = 3 \cdot BA\), \(BC’ = 3 \cdot BC\), точка \(B\) неизменна.

2) Центр в точке \(C\), \(k=1\): образ совпадает с треугольником \(ABC\).

3) Центр в точке \(A\), \(k=1\): образ совпадает с треугольником \(ABC\).

4) Центр в середине \(AB\), \(k=\frac{1}{2}\): новые точки \(A’, B’, C’\) лежат на лучах из середины \(AB\), расстояния вдвое меньше исходных.

5) Центр в середине \(AC\), \(k=\frac{1}{3}\): новые точки \(A’, B’, C’\) лежат на лучах из середины \(AC\), расстояния втрое меньше исходных.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переводится на луч из центра гомотетии так, что расстояние от центра до новой точки равно исходному расстоянию, умноженному на коэффициент \(k\). Центр гомотетии остаётся неподвижным, а все остальные точки смещаются вдоль лучей, исходящих из этого центра.

1) Если центр гомотетии — точка \(B\), а коэффициент \(k=3\), то точки \(A\) и \(C\) переводятся в новые точки \(A’\) и \(C’\) на лучах \(BA\) и \(BC\) соответственно. Расстояния от \(B\) до новых точек увеличиваются втрое: \(BA’ = 3 \cdot BA\), \(BC’ = 3 \cdot BC\). Точка \(B\) остаётся на месте, так как она центр. Таким образом, треугольник увеличивается в размерах, сохраняя форму и направление.

2) Если центр гомотетии — точка \(C\), а коэффициент \(k=1\), то каждая точка остаётся на своём месте, потому что умножение расстояния на 1 не меняет его. Значит, образ совпадает с исходным треугольником \(ABC\). Это частный случай гомотетии, когда фигура не изменяется.

3) Аналогично, если центр — точка \(A\) и коэффициент \(k=1\), то треугольник \(ABC\) не изменится. Все вершины останутся на прежних местах, так как расстояния от центра до точек не изменяются.

4) Если центр гомотетии — середина стороны \(AB\) (обозначим её \(M\)), а коэффициент \(k=\frac{1}{2}\), то новые точки \(A’, B’, C’\) находятся на лучах из \(M\) через \(A, B, C\). Расстояния от \(M\) до новых точек равны половине соответствующих исходных расстояний: \(MA’ = \frac{1}{2} MA\), \(MB’ = \frac{1}{2} MB\), \(MC’ = \frac{1}{2} MC\). Поскольку \(M\) — середина \(AB\), то \(MA = MB\), и точки \(A’\) и \(B’\) совпадут с \(M\), а точка \(C’\) будет ближе к \(M\), чем \(C\). Треугольник уменьшится вдвое относительно центра \(M\), сохраняя пропорции и форму.

5) Если центр гомотетии — середина стороны \(AC\) (обозначим её \(N\)), а коэффициент \(k=\frac{1}{3}\), то новые точки \(A’, B’, C’\) строятся аналогично. Расстояния от \(N\) до новых точек равны одной трети исходных: \(NA’ = \frac{1}{3} NA\), \(NB’ = \frac{1}{3} NB\), \(NC’ = \frac{1}{3} NC\). Поскольку \(N\) — середина \(AC\), точки \(A’\) и \(C’\) совпадают с \(N\), а точка \(B’\) расположена на луче \(NB\) ближе к \(N\) в три раза. Треугольник уменьшится в 3 раза относительно центра \(N\), сохраняя форму и направление.