ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает его сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ = 4 см, АС = 8 см, АМ = МК, а площадь треугольника МВК равна 5 см2.

Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 20 \, \text{см}^2 \).

Пусть \( S_{ABC} \) — площадь треугольника \( ABC \), а \( S_{MVK} = 5 \, \text{см}^2 \) — площадь треугольника \( MVK \).

Согласно условию, прямая \( MK \) параллельна стороне \( AC \), что означает, что треугольники \( ABC \) и \( MVK \) подобны. Соотношение площадей подобных треугольников можно записать как:

\[
\frac{S_{ABC}}{S_{MVK}} = \left( \frac{AB}{BM} \right)^2
\]

Здесь \( BM = 4 \, \text{см} \), а \( AM = MK = x \). Тогда длина \( AB \) равна:

\[
AB = AM + BM = x + 4
\]

Подставим это в формулу для площадей:

\[
\frac{S_{ABC}}{5} = \left( \frac{x + 4}{4} \right)^2
\]

Умножим обе стороны на 5:

\[
S_{ABC} = 5 \cdot \left( \frac{x + 4}{4} \right)^2
\]

Так как \( AM = MK \), и по условию задачи \( AC = 8 \, \text{см} \) (что в два раза больше \( BM \)), можно предположить, что \( x = 4 \). Подставим это значение:

\[
S_{ABC} = 5 \cdot \left( \frac{4 + 4}{4} \right)^2 = 5 \cdot \left( \frac{8}{4} \right)^2 = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 20 \, \text{см}^2 \).