Учебник «Геометрия 9 класс. Углубленный уровень» авторов Мерзляка и Полякова — это современное пособие, которое станет надёжным помощником для учеников, изучающих геометрию на повышенном уровне сложности. Этот учебник сочетает в себе доступное изложение теоретического материала, разнообразные задачи и практическую направленность, что делает его незаменимым как для школьных занятий, так и для самостоятельного изучения.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Отрезки ВМ и СК высоты остроугольного треугольника АВС, \(\angle ZA = 45°\). Найдите отношение площадей треугольников АМК и ABC.
\(\frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}\)
Для нахождения отношения площадей треугольников \( \triangle AMK \) и \( \triangle ABC \) начнем с формул для площадей.
Площадь треугольника \( \triangle AMK \) можно выразить как:
\( S_{\triangle AMK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin A \)
Площадь треугольника \( \triangle ABC \) можно выразить как:
\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \)
Теперь найдем отношение площадей:
\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A} \)
Сокращаем \( \frac{1}{2} \) и \( \sin A \):
\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AK \cdot AM}{AB \cdot AC} \)
Согласно указанию, мы знаем, что:
\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \cos^2 A \)
При \( \angle A = 45° \):
\( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Следовательно:
\( \cos^2 45° = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \)
Таким образом, окончательный ответ:
\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} \)
