ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезки ВМ и СК высоты остроугольного треугольника АВС, \(\angle ZA = 45°\). Найдите отношение площадей треугольников АМК и ABC.

\(\frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}\)

Для нахождения отношения площадей треугольников \( \triangle AMK \) и \( \triangle ABC \) начнем с формул для площадей.

Площадь треугольника \( \triangle AMK \) можно выразить как:

\( S_{\triangle AMK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin A \)

Площадь треугольника \( \triangle ABC \) можно выразить как:

\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \)

Теперь найдем отношение площадей:

\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A} \)

Сокращаем \( \frac{1}{2} \) и \( \sin A \):

\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{AK \cdot AM}{AB \cdot AC} \)

Согласно указанию, мы знаем, что:

\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \cos^2 A \)

При \( \angle A = 45° \):

\( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Следовательно:

\( \cos^2 45° = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \)

Таким образом, окончательный ответ:

\( \frac{S_{\triangle AMK}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} \)