ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите образ прямой \(y = 2x + 1\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = -\frac{1}{2}\).

1) \(y = 2x + 2\)

2) \(y = 2x — \frac{1}{2}\)

Для нахождения образа прямой \(y = 2x + 1\) при гомотетии с центром в начале координат и заданными коэффициентами, необходимо выполнить несколько шагов. Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигуры, сохраняя ее форму. В данном случае мы будем использовать два разных коэффициента гомотетии: \(k = 2\) и \(k = -\frac{1}{2}\).

Первым шагом будет выбор произвольной точки на прямой. Для простоты возьмем точку \(M(0, 1)\), которая принадлежит данной прямой, так как при \(x = 0\) мы получаем \(y = 2(0) + 1 = 1\). Далее определим вектор \(\overrightarrow{OM}\), который показывает положение точки \(M\) относительно начала координат. Вектор \(\overrightarrow{OM}\) равен \((0, 1)\). Теперь, применяя гомотетию с коэффициентом \(k = 2\), мы можем найти образ точки \(M\). Образ точки \(M\) при данной гомотетии будет вычисляться по формуле: \(\overrightarrow{OM_1} = k \cdot \overrightarrow{OM}\). Подставляя значения, получаем \(\overrightarrow{OM_1} = 2 \cdot (0, 1) = (0, 2)\). Таким образом, образ точки \(M_1\) будет равен \(M_1(0, 2)\).

Теперь, зная координаты точки \(M_1\), мы можем найти уравнение прямой, проходящей через эту точку и имеющей тот же угловой коэффициент, что и исходная прямая. Угловой коэффициент \(k\) равен 2, поэтому уравнение прямой можно записать в виде \(y — y_1 = m(x — x_1)\), где \(m\) — угловой коэффициент, а \((x_1, y_1)\) — координаты точки \(M_1\). Подставляя значения, получаем: \(y — 2 = 2(x — 0)\), что упрощается до \(y = 2x + 2\). Таким образом, образ прямой при гомотетии с коэффициентом \(k = 2\) равен \(y = 2x + 2\).

Теперь рассмотрим второй случай, когда коэффициент гомотетии \(k = -\frac{1}{2}\). Мы вновь начинаем с той же точки \(M(0, 1)\) и находим вектор \(\overrightarrow{OM}\), который остается тем же: \((0, 1)\). Применяя гомотетию, мы находим образ точки \(M\) по формуле \(\overrightarrow{OM_1} = -\frac{1}{2} \cdot (0, 1) = (0, -\frac{1}{2})\). Таким образом, образ точки \(M_1\) теперь равен \(M_1(0, -\frac{1}{2})\).

Теперь нам нужно найти уравнение новой прямой, проходящей через точку \(M_1\) и имеющей тот же угловой коэффициент 2. Используя ту же формулу для уравнения прямой, мы получаем: \(y + \frac{1}{2} = 2(x — 0)\). Упрощая это уравнение, получаем \(y = 2x — \frac{1}{2}\). Таким образом, образ прямой при гомотетии с коэффициентом \(k = -\frac{1}{2}\) равен \(y = 2x — \frac{1}{2}\).

1) \(y = 2x + 2\)
2) \(y = 2x — \frac{1}{2}\)