ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.45 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали трапеции ABCD (AD || ВС) пересекаются в точке О. Докажите, что описанные окружности треугольников AOD и ВОС касаются.

Если диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), то углы \(\angle AOB = \angle COD\) и \(\angle AOD + \angle BOC = 180^\circ\). Это означает, что описанные окружности треугольников \(AOD\) и \(BOC\) касаются, так как их углы дополняют друг друга до \(180^\circ\).

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

1. Рассмотрим углы, образованные диагоналями. Из свойств трапеции следует, что \(\angle AOB = \angle COD\) и \(\angle AOD = \angle BOC\). Это связано с тем, что углы, образуемые двумя пересекающимися прямыми, равны.

2. Поскольку \(AD \parallel BC\), то углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) являются внутренними углами при параллельных прямых и секущей, и они дополняют друг друга до \(180^\circ\):
\[
\angle AOD + \angle BOC = 180^\circ.
\]

3. Это свойство углов указывает на то, что описанные окружности треугольников \(AOD\) и \(BOC\) касаются. Если два угла, образованные в одной точке, дополняют друг друга до \(180^\circ\), то радиусы окружностей, проведенные к точке касания, будут перпендикулярны к общей касательной.

Таким образом, описанные окружности треугольников \(AOD\) и \(BOC\) касаются.