ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если неравные треугольники ABC и А1В1С1 таковы, что АВ || А1В1, ВС || В1С1, СА || С1А1, то существуют такие точка О и число \(k \neq 0, |k| \neq 1\), что \(Н^*(ΔАВС) = ΔА1В1С1\).

Если треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) такие, что \(AB \parallel A_1B_1\), \(BC \parallel B_1C_1\), \(CA \parallel C_1A_1\), то они подобны, и существует точка \(O\) и число \(k \neq 0, |k| \neq 1\), такие что \(H^*(\Delta ABC) = \Delta A_1B_1C_1\).

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) такие, что \(AB \parallel A_1B_1\), \(BC \parallel B_1C_1\), \(CA \parallel C_1A_1\). Это означает, что соответствующие углы равны: \(\angle ABC = \angle A_1B_1C_1\), \(\angle BCA = \angle B_1C_1A_1\), \(\angle CAB = \angle C_1A_1B_1\).

Так как стороны треугольников параллельны, то их длины связаны коэффициентом подобия \(k\), который определяется как \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k\). Поскольку треугольники неравные, \(k \neq 1\) и \(k \neq 0\).

Существует точка \(O\), которая является центром подобия. Эта точка может быть найдена как пересечение медиан или других линий, проведенных из вершин одного треугольника в соответствующие вершины другого.

Таким образом, мы имеем \(H^*(\Delta ABC) = \Delta A_1B_1C_1\), что означает, что треугольник \(A_1B_1C_1\) получается из треугольника \(ABC\) при помощи гомотетии с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k\).

В итоге, мы доказали, что существуют точка \(O\) и число \(k \neq 0, |k| \neq 1\), такие что \(H^*(\Delta ABC) = \Delta A_1B_1C_1\).