ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках А1, А2, В1, В2 (рис. 23.32). Докажите, что А1В1 || А2В2.

Пусть окружности касаются в точке \( P \). Проведем радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \). Углы \( \angle O_1A_1B_1 \) и \( \angle O_2A_2B_2 \) равны, так как радиусы перпендикулярны к секущим в точке касания. Следовательно, \( A_1B_1 \parallel A_2B_2 \).

Пусть две окружности \( O_1 \) и \( O_2 \) касаются в точке \( P \). Обозначим радиусы окружностей как \( r_1 \) и \( r_2 \). Проведем радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \), которые будут перпендикулярны к касательной в точке касания.

Рассмотрим прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \), которые пересекают окружности в точках \( A_1, A_2 \) и \( B_1, B_2 \) соответственно. Углы \( \angle O_1A_1B_1 \) и \( \angle O_2A_2B_2 \) являются углами между радиусами и секущими.

Поскольку радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \) перпендикулярны к секущим в точке касания, то:

\[
\angle O_1A_1B_1 = \angle O_2A_2B_2
\]

Если два угла, образуемые двумя пересекающими прямыми и радиусами, равны, то по признаку параллельности прямых:

\[
A_1B_1 \parallel A_2B_2
\]

Таким образом, мы доказали, что прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \) являются параллельными.