Учебник «Геометрия 9 класс. Углубленный уровень» авторов Мерзляка и Полякова — это современное пособие, которое станет надёжным помощником для учеников, изучающих геометрию на повышенном уровне сложности. Этот учебник сочетает в себе доступное изложение теоретического материала, разнообразные задачи и практическую направленность, что делает его незаменимым как для школьных занятий, так и для самостоятельного изучения.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках А1, А2, В1, В2 (рис. 23.32). Докажите, что А1В1 || А2В2.
Пусть окружности касаются в точке \( P \). Проведем радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \). Углы \( \angle O_1A_1B_1 \) и \( \angle O_2A_2B_2 \) равны, так как радиусы перпендикулярны к секущим в точке касания. Следовательно, \( A_1B_1 \parallel A_2B_2 \).
Пусть две окружности \( O_1 \) и \( O_2 \) касаются в точке \( P \). Обозначим радиусы окружностей как \( r_1 \) и \( r_2 \). Проведем радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \), которые будут перпендикулярны к касательной в точке касания.
Рассмотрим прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \), которые пересекают окружности в точках \( A_1, A_2 \) и \( B_1, B_2 \) соответственно. Углы \( \angle O_1A_1B_1 \) и \( \angle O_2A_2B_2 \) являются углами между радиусами и секущими.
Поскольку радиусы \( O_1P \) и \( O_2P \) перпендикулярны к секущим в точке касания, то:
\[
\angle O_1A_1B_1 = \angle O_2A_2B_2
\]
Если два угла, образуемые двумя пересекающими прямыми и радиусами, равны, то по признаку параллельности прямых:
\[
A_1B_1 \parallel A_2B_2
\]
Таким образом, мы доказали, что прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \) являются параллельными.
