ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках А1, А2, B1, B2 (рис. 23.33). Докажите, что \(A_1B_1 || A_2B_2\).

Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей, \( T \) — точка касания. Прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \) проведены через \( T \).

Поскольку \( O_1T \perp A_1B_1 \) и \( O_2T \perp A_2B_2 \), то углы \( \angle O_1TA_1B_1 = 90^\circ \) и \( \angle O_2TA_2B_2 = 90^\circ \).

Таким образом, \( A_1B_1 \parallel A_2B_2 \) по признаку параллельности прямых, образованных пересечением с двумя перпендикулярами.

Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры двух окружностей, которые касаются внешним образом в точке \( T \). Через точку касания проведены две прямые \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \), пересекающие окружности в точках \( A_1, A_2 \) и \( B_1, B_2 \) соответственно.

Известно, что радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Это означает, что \( O_1T \perp A_1B_1 \) и \( O_2T \perp A_2B_2 \).

Обозначим угол между радиусом \( O_1T \) и прямой \( A_1B_1 \) как \( \alpha \), а угол между радиусом \( O_2T \) и прямой \( A_2B_2 \) как \( \beta \). Поскольку \( O_1T \perp A_1B_1 \), то угол \( \alpha = 90^\circ \). Аналогично, так как \( O_2T \perp A_2B_2 \), то угол \( \beta = 90^\circ \).

Так как оба угла равны \( 90^\circ \), то по признаку параллельности прямых, если два угла, образованные пересечением двух прямых с третьей прямой, равны, то эти две прямые параллельны. Таким образом, мы можем заключить, что \( A_1B_1 \parallel A_2B_2 \).