ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите треугольник АВС. Найдите точку пересечения его медиан. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = \frac{1}{2}\); 3) \(k = \frac{1}{2}\).

Точка пересечения медиан \(O\) делит каждую медиану в отношении 2:1. При гомотетии с центром в \(O\) и коэффициентом \(k\) образ вершины \(P’\) находится по формуле \(P’ = O + k(P — O)\).

1) При \(k = 2\) треугольник увеличится в 2 раза относительно \(O\).
2) При \(k = \frac{1}{2}\) треугольник уменьшится в 2 раза относительно \(O\).
3) При \(k = \frac{1}{2}\) то же самое, что и во 2).

Точка пересечения медиан треугольника \(O\) является центром тяжести, и она обладает важным свойством: каждая медиана делится этой точкой в отношении \(2:1\), считая от вершины. Это означает, что если взять любую медиану, например \(AM\), где \(M\) — середина стороны \(BC\), то длина отрезка \(AO\) в два раза больше длины отрезка \(OM\). Это свойство позволяет точно определить координаты точки \(O\), если известны координаты вершин треугольника.

Гомотетия с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k\) переводит любую точку \(P\) в точку \(P’\) на прямой, проходящей через \(O\) и \(P\), так что расстояние от \(O\) до \(P’\) равно \(k\) умножить на расстояние от \(O\) до \(P\). Математически это выражается формулой \(P’ = O + k(P — O)\), где \(P\) и \(O\) — векторные координаты точек. При этом если \(k > 1\), фигура увеличивается, если \(0 < k < 1\), уменьшается, а при \(k = 1\) остается неизменной.

Для данного треугольника при \(k = 2\) каждая вершина перемещается в точку, удалённую от центра тяжести в два раза дальше, чем исходная вершина, что приводит к увеличению треугольника в два раза относительно \(O\). При \(k = \frac{1}{2}\) вершины приближаются к центру тяжести в два раза, уменьшая треугольник вдвое. Если коэффициент \(k\) повторяется, например, тоже равен \(\frac{1}{2}\), то результат будет тот же — уменьшенный треугольник вдвое относительно точки \(O\).