ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности касаются внутренним образом, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам.

Для доказательства используем следующее:

1. Пусть \( O \) — центр большей окружности, \( O’ \) — центр меньшей окружности, \( A \) — точка касания. Меньшая окружность проходит через \( O \).
2. Хорда \( BC \) проходит через точку касания \( A \).
3. Поскольку \( O’A \) перпендикулярно \( BC \) в точке \( A \) (по свойству радиуса), то \( O’ \) делит \( BC \) пополам.
4. Таким образом, \( AB = AC \).

Следовательно, меньшая окружность делит любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, пополам.

Рассмотрим две окружности: большая окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \) и меньшая окружность с центром \( O’ \) и радиусом \( r \). Меньшая окружность касается большей в точке \( A \) и проходит через центр большей окружности, то есть \( O’ = A \).

Пусть \( M \) — произвольная хорда большей окружности, проходящая через точку касания \( A \). Обозначим точки пересечения хорды \( M \) с большей окружностью как \( B \) и \( C \).

1. Поскольку \( O’ \) — центр меньшей окружности, то радиус меньшей окружности \( O’A = r \).
2. Радиус \( OA \) равен \( R \), так как \( A \) — точка на большей окружности.
3. Хорда \( BC \) симметрична относительно прямой, проходящей через точку \( A \) и центр \( O \). Это означает, что расстояния от точки \( A \) до точек \( B \) и \( C \) равны: \( AB = AC \).
4. Рассмотрим треугольник \( OAB \) (или \( OAC \)). В этом треугольнике угол \( OAB \) прямой, так как радиус \( OA \) перпендикулярен хорде \( BC \) в точке \( A \).
5. Поскольку \( O’ \) находится на линии \( OA \) и является центром меньшей окружности, меньшая окружность будет делить хорду \( BC \) пополам. Это происходит из-за того, что \( O’ \) равноудалено от \( B \) и \( C \).

Таким образом, любая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, меньшая окружность делит пополам.