ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны треугольник АВС и произвольная точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон треугольника АВС, являются вершинами треугольника, равного данному.

Симметричные точки \( M_A, M_B, M_C \) относительно середин сторон \( D, E, F \) треугольника \( ABC \) вычисляются как:

\( M_A = A + B — M \)
\( M_B = B + C — M \)
\( M_C = C + A — M \)

Треугольник \( M_A M_B M_C \) равен треугольнику \( ABC \) по равенству сторон и углов, так как:

\( M_A — A = B — M \),
\( M_B — B = C — M \),
\( M_C — C = A — M \).

Следовательно, точки \( M_A, M_B, M_C \) являются вершинами треугольника, равного данному.

Пусть \( A, B, C \) — вершины треугольника, а \( D, E, F \) — середины сторон \( AB, BC, CA \) соответственно. Тогда:

\( D = \frac{A + B}{2} \)
\( E = \frac{B + C}{2} \)
\( F = \frac{C + A}{2} \)

Обозначим произвольную точку \( M \). Найдем симметричные точки относительно середин:

1. Для точки \( M_A \) относительно \( D \):
\( M_A = 2D — M = 2 \cdot \frac{A + B}{2} — M = A + B — M \)

2. Для точки \( M_B \) относительно \( E \):
\( M_B = 2E — M = 2 \cdot \frac{B + C}{2} — M = B + C — M \)

3. Для точки \( M_C \) относительно \( F \):
\( M_C = 2F — M = 2 \cdot \frac{C + A}{2} — M = C + A — M \)

Теперь рассмотрим векторы, соединяющие точки \( M_A, M_B, M_C \) с вершинами \( A, B, C \):

\( M_A — A = (B — M) \)
\( M_B — B = (C — M) \)
\( M_C — C = (A — M) \)

Треугольник \( M_A M_B M_C \) будет равен треугольнику \( ABC \), так как векторы \( M_A — A, M_B — B, M_C — C \) имеют равные длины и углы, что подтверждает равенство треугольников по соответствующим сторонам и углам.

Следовательно, точки \( M_A, M_B, M_C \) являются вершинами треугольника, равного данному треугольнику \( ABC \).