ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На продолжениях медиан AK, BL и СМ треугольника АВС выбраны точки P, Q, R такие, что \(KP = \frac{1}{2}AK, LQ = \frac{1}{2}BL, MR = 1 см\). Найдите \(S_{PQR}\), если \(S_{ABC} = 1\).

Площадь треугольника \( S_{ABC} = 1 \). Площадь треугольников \( S_{AKP} \), \( S_{BLQ} \) и \( S_{CMR} \) равны \( \frac{1}{4} \) каждая, так как \( KP = \frac{1}{2} AK \), \( LQ = \frac{1}{2} BL \), \( MR = \frac{1}{2} CM \). Общая площадь \( S_{AKP} + S_{BLQ} + S_{CMR} = \frac{3}{4} \). Таким образом, \( S_{SPQR} = S_{ABC} — (S_{AKP} + S_{BLQ} + S_{CMR}) = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \). Учитывая деление на 2, площадь \( S_{SPQR} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16} \). Ответ: \( \frac{25}{16} \).

Пусть \( S_{ABC} = 1 \) — площадь треугольника \( ABC \). Обозначим точки пересечения медиан как \( K, L, M \) для медиан \( AK, BL, CM \) соответственно.

Точки \( P, Q, R \) выбраны так, что:

— \( KP = \frac{1}{2} AK \)
— \( LQ = \frac{1}{2} BL \)
— \( MR = \frac{1}{2} CM \)

Площадь треугольника, образованного медианой и точкой на ней, равна половине площади треугольника \( ABC \) умноженной на отношение отрезка \( KP \) к медиане \( AK \):

\[
S_{AKP} = \frac{1}{2} S_{ABC} \cdot \frac{KP}{AK} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

Аналогично для других треугольников:

\[
S_{BLQ} = \frac{1}{2} S_{ABC} \cdot \frac{LQ}{BL} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

\[
S_{CMR} = \frac{1}{2} S_{ABC} \cdot \frac{MR}{CM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

Теперь найдем общую площадь треугольника \( SPQR \):

\(
S_{SPQR} = S_{ABC} — (S_{AKP} + S_{BLQ} + S_{CMR}) = 1 — \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\)

Однако, поскольку каждая сторона \( SP, QR \) делит на 2, то площадь \( S_{SPQR} \) будет в \( \frac{5}{4} \) раз меньше площади \( S_{ABC} \):

\[
S_{SPQR} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{16}
\]

Таким образом, площадь треугольника \( SPQR \) равна \( \frac{25}{16} \).