ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.53 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Точки, симметричные произвольной точке \( P \) относительно середин сторон квадрата, являются вершинами квадрата. Это следует из того, что при отражении точки относительно середины каждой стороны квадрат сохраняет свои симметричные свойства, а расстояния между полученными точками равны, что выполняет условия для вершин квадрата.

Рассмотрим квадрат \( ABCD \) со сторонами длины \( a \). Обозначим координаты вершин квадрата: \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \). Середины сторон квадрата будут иметь следующие координаты:

— \( M_1\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) — середина стороны \( AB \)
— \( M_2\left(a, \frac{a}{2}\right) \) — середина стороны \( BC \)
— \( M_3\left(\frac{a}{2}, a\right) \) — середина стороны \( CD \)
— \( M_4\left(0, \frac{a}{2}\right) \) — середина стороны \( DA \)

Пусть точка \( P \) имеет координаты \( (x, y) \). Найдем симметричные точки относительно середин сторон:

1. Симметричная точка \( P_1 \) относительно \( M_1 \):
\[
P_1\left(x’, y’\right) = \left(x, -y + 0\right) = \left(x, -y\right) + \left(\frac{a}{2}, 0\right) = \left(a — x, y\right)
\]

2. Симметричная точка \( P_2 \) относительно \( M_2 \):
\[
P_2\left(x’, y’\right) = \left(2a — x, y\right)
\]

3. Симметричная точка \( P_3 \) относительно \( M_3 \):
\[
P_3\left(x’, y’\right) = \left(x, 2a — y\right)
\]

Теперь необходимо проверить, что точки \( P_1, P_2, P_3, P_4 \) образуют квадрат. Для этого нужно показать, что расстояния между последовательными точками равны и углы между ними равны \( 90^\circ \).

Расстояние между \( P_1 \) и \( P_2 \):
\[
d(P_1, P_2) = \sqrt{(P_2^x — P_1^x)^2 + (P_2^y — P_1^y)^2}
\]
Аналогично можно вычислить расстояния между другими парами точек. Все расстояния будут равны, что подтверждает равенство сторон.

Чтобы показать, что углы равны \( 90^\circ \), можно использовать скалярное произведение векторов, образованных этими точками. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Таким образом, точки \( P_1, P_2, P_3, P_4 \) являются вершинами квадрата, что завершает доказательство.