ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точку Р. Пусть точки М1, М2, М3, М4 точки пересечения медиан треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Докажите, что четырёхугольник \(M_1M_2M_3M_4\) параллелограмм.

Четырёхугольник \(M_1M_2M_3M_4\) является параллелограммом, так как:
1) Противоположные стороны равны, так как \(M_1M_2 = M_3M_4\) и \(M_2M_3 = M_4M_1\) по свойству медиан треугольника.
2) Противоположные стороны параллельны, так как треугольники \(APB\), \(BPC\), \(CPD\) и \(DPA\) гомотетичны относительно точки \(P\).

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена точка P. Пусть точки M1, M2, M3, M4 являются точками пересечения медиан треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Докажем, что четырёхугольник M1M2M3M4 является параллелограммом.

Во-первых, согласно свойству медиан треугольника, медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1. Следовательно, M1M2 = M3M4 и M2M3 = M4M1.

Во-вторых, треугольники APB, BPC, CPD и DPA гомотетичны относительно точки P. Это означает, что прямые M1M2 и M3M4 параллельны, а прямые M2M3 и M4M1 также параллельны.

Таким образом, четырёхугольник M1M2M3M4 имеет равные противоположные стороны и параллельные противоположные стороны, следовательно, он является параллелограммом.