ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите параллелограмм ABCD. Точку пересечения его диагоналей обозначьте О. Постройте образ этого параллелограмма при гомотетии с центром О и коэффициентом: 1) \(k = 2\); 2) \(k = \frac{1}{2}\).

Пусть \(O\) — центр гомотетии.

1) При \(k=2\) координаты новых точек: \(A’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OA}\), \(B’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OB}\), \(C’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OC}\), \(D’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OD}\). Параллелограмм увеличится в 2 раза относительно точки \(O\).

2) При \(k = \frac{1}{2}\) координаты новых точек: \(A» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OA}\), \(B» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OB}\), \(C» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OC}\), \(D» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OD}\). Параллелограмм уменьшится в 2 раза относительно точки \(O\).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Эта точка является центром гомотетии, то есть все преобразования будут происходить относительно неё. Вектор \(\overrightarrow{OA}\) направлен от точки \(O\) к точке \(A\), аналогично для остальных вершин: \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OD}\). При гомотетии с коэффициентом \(k\) новая точка \(A’\) определяется формулой \(A’ = O + k \cdot \overrightarrow{OA}\), то есть мы умножаем вектор смещения от \(O\) к \(A\) на число \(k\) и откладываем его от \(O\).

Если коэффициент гомотетии равен \(k=2\), это значит, что каждая вершина параллелограмма удаляется от точки \(O\) в два раза дальше, чем была изначально. Тогда новые координаты вершин будут вычисляться так: \(A’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OA}\), \(B’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OB}\), \(C’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OC}\), \(D’ = O + 2 \cdot \overrightarrow{OD}\). В результате новый параллелограмм будет иметь в два раза большую площадь и размеры по сравнению с исходным, но центр \(O\) останется неподвижным. Это расширение фигуры происходит равномерно по всем направлениям от центра гомотетии.

При коэффициенте \(k = \frac{1}{2}\) происходит обратный процесс: каждая вершина перемещается ближе к точке \(O\), расстояние сокращается в два раза. Новые точки вычисляются по формулам: \(A» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OA}\), \(B» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OB}\), \(C» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OC}\), \(D» = O + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{OD}\). Новый параллелограмм будет в два раза меньше по линейным размерам, а его площадь уменьшится в четыре раза, так как площадь пропорциональна квадрату коэффициента гомотетии. Центр \(O\) при этом также не изменит своего положения.