ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.61 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точку, находящуюся внутри выпуклого четырёхугольника с площадью S, соединили с его вершинами. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников.

Площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников, равна \(\frac{2}{3} S\), где \(S\) — площадь исходного четырёхугольника. Ответ: \(\frac{2}{3} S\)

Пусть \( S \) — площадь выпуклого четырёхугольника \( ABCD \). Внутри этого четырёхугольника выбрана точка \( P \), соединяющаяся с вершинами \( A, B, C, D \), образуя четыре треугольника: \( \triangle PAB \), \( \triangle PBC \), \( \triangle PCD \), \( \triangle PDA \).

Обозначим площади этих треугольников как:
— \( S_1 = [PAB] \)
— \( S_2 = [PBC] \)
— \( S_3 = [PCD] \)
— \( S_4 = [PDA] \)

Тогда общая площадь четырёхугольника \( ABCD \) выражается как:
\( S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \).

Каждый треугольник имеет свои медианы, которые пересекаются в точках, называемых центрами масс. Площадь нового четырёхугольника, образованного точками пересечения медиан этих треугольников, составляет \(\frac{2}{3}\) площади каждого из них.

Таким образом, площадь нового четырёхугольника \( Q \) можно выразить как:
\( Q = \frac{2}{3} (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = \frac{2}{3} S \).

Итак, площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников, равна \(\frac{2}{3} S\). Ответ: \(\frac{2}{3} S\)