Учебник «Геометрия 9 класс. Углубленный уровень» авторов Мерзляка и Полякова — это современное пособие, которое станет надёжным помощником для учеников, изучающих геометрию на повышенном уровне сложности. Этот учебник сочетает в себе доступное изложение теоретического материала, разнообразные задачи и практическую направленность, что делает его незаменимым как для школьных занятий, так и для самостоятельного изучения.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.61 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точку, находящуюся внутри выпуклого четырёхугольника с площадью S, соединили с его вершинами. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников.
Площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников, равна \(\frac{2}{3} S\), где \(S\) — площадь исходного четырёхугольника. Ответ: \(\frac{2}{3} S\)
Пусть \( S \) — площадь выпуклого четырёхугольника \( ABCD \). Внутри этого четырёхугольника выбрана точка \( P \), соединяющаяся с вершинами \( A, B, C, D \), образуя четыре треугольника: \( \triangle PAB \), \( \triangle PBC \), \( \triangle PCD \), \( \triangle PDA \).
Обозначим площади этих треугольников как:
— \( S_1 = [PAB] \)
— \( S_2 = [PBC] \)
— \( S_3 = [PCD] \)
— \( S_4 = [PDA] \)
Тогда общая площадь четырёхугольника \( ABCD \) выражается как:
\( S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \).
Каждый треугольник имеет свои медианы, которые пересекаются в точках, называемых центрами масс. Площадь нового четырёхугольника, образованного точками пересечения медиан этих треугольников, составляет \(\frac{2}{3}\) площади каждого из них.
Таким образом, площадь нового четырёхугольника \( Q \) можно выразить как:
\( Q = \frac{2}{3} (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = \frac{2}{3} S \).
Итак, площадь четырёхугольника, вершины которого являются точками пересечения медиан четырёх образовавшихся треугольников, равна \(\frac{2}{3} S\). Ответ: \(\frac{2}{3} S\)
