ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.62 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок АВ хорда данной окружности, точка С произвольная точка этой окружности. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников ABC.

Геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников \(ABC\), будет отрезком, соединяющим середину хорды \(AB\) и центр окружности.

Геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников \(ABC\), представляет собой отрезок, соединяющий середину хорды \(AB\) и центр окружности.

1. Обозначим середину отрезка \(AB\) как \(M\).
2. Пусть \(C\) — произвольная точка на окружности.
3. Медиана из точки \(A\) соединяет \(A\) с серединой отрезка \(BC\), медиана из \(B\) соединяет \(B\) с серединой отрезка \(AC\), а медиана из \(C\) соединяет \(C\) с серединой отрезка \(AB\).
4. Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(M\) и коэффициентом \(k = \frac{1}{3}\).
5. Эта гомотетия отображает точки \(A\), \(B\) и \(C\) в новые точки \(A’\), \(B’\) и \(C’\).
6. Пересечение медиан треугольника \(ABC\) будет находиться в точке \(G\) (центре масс), которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\).
7. В результате применения гомотетии, точка \(G\) будет отображаться в точку \(G’\), находящуюся на прямой, проходящей через \(M\).
8. Поскольку точка \(C\) произвольна и находится на окружности, а \(M\) фиксирована, то точка \(G’\) будет находиться на линии, соединяющей \(M\) и центр окружности \(O\).
9. Таким образом, геометрическое место точек пересечения медиан будет отрезком, соединяющим середину хорды \(AB\) и центр окружности.
10. Следовательно, ответ: отрезок \(MO\), где \(O\) — центр окружности.