ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.63 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две точки А и В и прямая l. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников АВС, где С произвольная точка прямой l.

Геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести треугольников \( ABC \) с фиксированными точками \( A \) и \( B \) и переменной точкой \( C \) на прямой \( l \), представляет собой прямую. Уравнение этой прямой будет иметь вид \( y = \frac{y_A + y_B + f(t)}{3} \), где \( f(t) \) — уравнение прямой \( l \).

Пусть точки \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) фиксированы, а точка \( C(x_C, y_C) \) движется по прямой \( l \), заданной уравнением \( y = f(x) \).

Центр тяжести треугольника \( ABC \) вычисляется по формуле:

\( G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \).

Подставим координаты точки \( C \):

\( G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + f(x_C)}{3} \right) \).

Обозначим \( x_C = t \). Тогда координаты центра тяжести будут:

\( G\left( \frac{x_A + x_B + t}{3}, \frac{y_A + y_B + f(t)}{3} \right) \).

При изменении \( t \) координаты \( G \) будут описывать кривую в пространстве. Это будет прямая, так как \( G \) является линейной комбинацией координат \( x \) и \( y \).

Таким образом, геометрическое место точек \( G \) будет представлять собой прямую, зависящую от уравнения прямой \( l \) и фиксированных точек \( A \) и \( B \).