ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.69 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На катетах АС и СВ и гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отметили соответственно точки M, N и К так, что \(MN |AB\) и треугольник MNK равносторонний. Потом весь рисунок стёрли, оставив только точки А, К и В. Как по этим точкам восстановить треугольник АВС?

Восстановить треугольник АВС можно следующим образом:
1) Построить равносторонний треугольник KMN, где точки M и N лежат на катетах АС и СВ, а точка К — на гипотенузе АВ.
2) Провести перпендикуляр из точки К на гипотенузу АВ. Точка пересечения перпендикуляра с гипотенузой будет являться точкой С.
3) Соединить точки А, С и В, чтобы получить треугольник АВС.

Для восстановления треугольника АВС по оставшимся точкам А, К и В необходимо выполнить следующие действия:

Во-первых, построить равносторонний треугольник KMN, где точки M и N лежат на катетах АС и СВ соответственно, а точка К — на гипотенузе АВ. Это можно сделать, разделив гипотенузу АВ пополам в точке К и построив равносторонние треугольники MNK. Таким образом, точки M и N будут находиться на катетах АС и СВ, а точка К — на гипотенузе АВ.

Во-вторых, провести перпендикуляр из точки К на гипотенузу АВ. Точка пересечения этого перпендикуляра с гипотенузой будет являться точкой С. Для этого можно использовать свойство прямоугольного треугольника, согласно которому высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам. Таким образом, точка С будет являться серединой гипотенузы АВ.

В-третьих, соединить точки А, С и В, чтобы получить искомый треугольник АВС. Поскольку точки А, К и В известны, а точка С найдена как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки К на гипотенузу АВ, можно восстановить исходный прямоугольный треугольник АВС. Таким образом, используя только оставшиеся точки А, К и В, можно полностью восстановить треугольник АВС.

Кроме того, можно отметить, что для построения равностороннего треугольника KMN можно использовать формулу \(a = \frac{b}{\sqrt{3}}\), где \(a\) — длина стороны равностороннего треугольника, а \(b\) — длина гипотенузы АВ. Это позволяет определить положение точек M и N на катетах АС и СВ соответственно.

Таким образом, последовательное применение этих шагов позволяет восстановить треугольник АВС по оставшимся точкам А, К и В.