ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Начертите квадрат ABCD. Постройте образ этого квадрата при гомотетии с коэффициентом \(k\) и центром: 1) в точке A, \(k = 3\); 2) в точке В, \(k = 2\); 3) в точке С, \(k = 2\).

1) При гомотетии с центром в точке \(A\) и коэффициентом \(k=3\) точки \(B, C, D\) переводятся в \(B’, C’, D’\) так, что \(AB’ = 3 \cdot AB\), \(AC’ = 3 \cdot AC\), \(AD’ = 3 \cdot AD\). Точка \(A\) остаётся неподвижной.

2) При гомотетии с центром в точке \(B\) и коэффициентом \(k=2\) точки \(A, C, D\) переводятся в \(A’, C’, D’\) так, что \(BA’ = 2 \cdot BA\), \(BC’ = 2 \cdot BC\), \(BD’ = 2 \cdot BD\). Точка \(B\) остаётся неподвижной.

3) При гомотетии с центром в точке \(C\) и коэффициентом \(k=2\) точки \(A, B, D\) переводятся в \(A’, B’, D’\) так, что \(CA’ = 2 \cdot CA\), \(CB’ = 2 \cdot CB\), \(CD’ = 2 \cdot CD\). Точка \(C\) остаётся неподвижной.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры смещается вдоль луча, исходящего из центра гомотетии, при этом расстояние от центра до точки умножается на коэффициент гомотетии. Если центр гомотетии совпадает с одной из вершин квадрата, то эта вершина остаётся неподвижной, а остальные точки перемещаются так, что вектор от центра к точке умножается на коэффициент.

В первом случае центр гомотетии — точка \(A\), коэффициент \(k = 3\). Это значит, что точка \(A\) не меняет положение, а остальные вершины \(B, C, D\) перемещаются на расстояния, втрое превышающие исходные расстояния от \(A\). То есть новые точки \(B’, C’, D’\) лежат на тех же прямых, что и \(AB, AC, AD\), но в три раза дальше от \(A\): \(AB’ = 3 \cdot AB\), \(AC’ = 3 \cdot AC\), \(AD’ = 3 \cdot AD\). Таким образом, весь квадрат увеличивается в три раза относительно точки \(A\), сохраняя форму и угол между сторонами.

Во втором и третьем случаях центр гомотетии — точки \(B\) и \(C\) соответственно, коэффициент \(k = 2\). Аналогично первому случаю, центр остаётся неподвижным, а остальные вершины смещаются на расстояния, в два раза превышающие исходные расстояния от центра гомотетии. Для гомотетии с центром в \(B\) новые точки \(A’, C’, D’\) определяются так, что \(BA’ = 2 \cdot BA\), \(BC’ = 2 \cdot BC\), \(BD’ = 2 \cdot BD\), а для гомотетии с центром в \(C\) новые точки \(A’, B’, D’\) имеют расстояния \(CA’ = 2 \cdot CA\), \(CB’ = 2 \cdot CB\), \(CD’ = 2 \cdot CD\). В обоих случаях квадрат увеличивается в два раза относительно выбранного центра, сохраняя пропорции и углы.