ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.71 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектрисы углов А, В и С треугольника АВС пересекают описанную окружность этого треугольника в точках А1, В1 и С1 соответственно. Касательные к окружности в точках А1, В1 и С1 пересекаются в точках А2, В2 и С2 (рис. 23.35). Докажите, что прямые АА2 ВВ„, СС, пересекаются в одной точке.

Для доказательства, что прямые \( AA_2 \), \( BB_2 \), \( CC_2 \) пересекаются в одной точке, обозначим инцентр треугольника \( ABC \) как \( I \). Биссектрисы углов \( A \), \( B \) и \( C \) пересекаются в \( I \). Точки \( A_1 \), \( B_1 \), \( C_1 \) — это точки пересечения биссектрис с описанной окружностью. Касательные к окружности в точках \( A_1 \), \( B_1 \), \( C_1 \) пересекаются в точках \( A_2 \), \( B_2 \), \( C_2 \). Углы \( A_2A_1I \), \( B_2B_1I \), \( C_2C_1I \) равны \( 90^\circ \). Треугольники \( AIA_2 \), \( BIB_2 \), \( CIC_2 \) подобны, так как имеют общий угол \( I \) и два угла \( 90^\circ \). Это приводит к тому, что прямые \( AA_2 \), \( BB_2 \), \( CC_2 \) пересекаются в одной точке.

Для доказательства, что прямые \( AA_2 \), \( BB_2 \), \( CC_2 \) пересекаются в одной точке, рассмотрим следующие шаги:

Первый шаг. Обозначим \( I \) как инцентр треугольника \( ABC \). Биссектрисы углов \( A \), \( B \) и \( C \) пересекаются в точке \( I \). Это означает, что \( I \) равноудалён от сторон треугольника.

Второй шаг. Точки \( A_1 \), \( B_1 \), \( C_1 \) — это точки пересечения биссектрис с описанной окружностью. Эти точки делят углы \( A \), \( B \) и \( C \) на равные части.

Третий шаг. Касательные к окружности в точках \( A_1 \), \( B_1 \), \( C_1 \) пересекаются в точках \( A_2 \), \( B_2 \), \( C_2 \). По свойству касательных, углы \( A_2A_1I \), \( B_2B_1I \), \( C_2C_1I \) равны \( 90^\circ \), поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Четвёртый шаг. Рассмотрим треугольники \( AIA_2 \), \( BIB_2 \), \( CIC_2 \). Эти треугольники имеют общий угол \( I \) и по два угла \( 90^\circ \). Это означает, что треугольники подобны.

Пятый шаг. Поскольку треугольники \( AIA_2 \), \( BIB_2 \), \( CIC_2 \) подобны, то это приводит к тому, что прямые \( AA_2 \), \( BB_2 \), \( CC_2 \) пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы доказали, что прямые \( AA_2 \), \( BB_2 \), \( CC_2 \) действительно пересекаются в одной точке.