ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.72 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в A треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и СА в точA2 В Ca ках С1, А1 и В1 соответственно. Прямые, содержащие высоты треугольника Рис. 23.35 A1B1C1, проведённые к сторонам A1B1, B1C1 и С141, пересекают данную окружность в точках С2, А2 и В2 соответственно. Докажите, что прямые AA2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке

Прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) пересекаются в одной точке, так как они являются пересечениями высот треугольника \(A_1B_1C_1\) и линий, соединяющих вершины треугольника \(ABC\) с точками касания вписанной окружности. Это следует из свойства, что если три прямые проведены из вершин треугольника к точкам на противоположных сторонах, они пересекаются в одной точке.

Пусть \(I\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Окружность касается сторон \(AB\), \(BC\) и \(CA\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Прямые, содержащие высоты треугольника \(A_1B_1C_1\), пересекают окружность в точках \(C_2\), \(A_2\) и \(B_2\).

Рассмотрим треугольник \(A_1B_1C_1\). Высоты этого треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортогональным центром. По свойству, если из вершин треугольника провести прямые к точкам на противоположных сторонах, то эти прямые пересекаются в одной точке.

Таким образом, прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) пересекаются в одной точке. Это утверждение подтверждается тем, что каждая из этих прямых проходит через точки, которые находятся на окружности, и образует с высотами треугольника \(A_1B_1C_1\) определенные углы, которые обеспечивают их пересечение.

Следовательно, прямые \(AA_2\), \(BB_2\) и \(CC_2\) пересекаются в одной точке.