ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.73 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Рассмотрим множество равнобедренных треугольников с равными радиусами вписанных окружностей, основания которых лежат на данной прямой, а одна из вершин в данной точке А этой прямой. Докажите, что все прямые, содержащие боковые стороны этих треугольников, которые не проходят через вершину А, касаются одной и той же окружности.

Все боковые стороны равнобедренных треугольников с фиксированной вершиной \( A \) и равными радиусами вписанных окружностей касаются одной и той же окружности, так как радиус \( r \) вписанной окружности определяет постоянное расстояние от точки \( A \) до основания \( BC \). Поскольку все треугольники имеют одинаковую высоту и фиксированное расстояние от \( A \) до прямой, то все касательные к окружности из точки \( A \) равны.

Пусть \( A \) — фиксированная точка на прямой, а \( B \) и \( C \) — точки на этой прямой, образующие основание равнобедренного треугольника \( ABC \). Обозначим радиус вписанной окружности как \( r \).

В равнобедренном треугольнике высота из вершины \( A \) к основанию \( BC \) делит его пополам, и пусть точка пересечения высоты с основанием обозначается как \( D \). Тогда \( BD = DC \).

Радиус вписанной окружности \( r \) можно выразить через площадь \( S \) и полупериметр \( p \) треугольника:

\[
r = \frac{S}{p}
\]

где полупериметр \( p \) равен \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} \).

Поскольку радиус \( r \) одинаков для всех рассматриваемых равнобедренных треугольников с фиксированной вершиной \( A \), это означает, что высота \( AD \) будет постоянной для всех таких треугольников.

Теперь рассмотрим все возможные треугольники \( ABC \), где \( B \) и \( C \) могут перемещаться по прямой. Высота \( AD \) остаётся постоянной, что указывает на то, что расстояние от точки \( A \) до прямой \( BC \) фиксировано.

Все боковые стороны \( AB \) и \( AC \) будут пересекаться в одной и той же окружности, так как они образуют одинаковые углы с основанием \( BC \). Это происходит из-за того, что радиус вписанной окружности остаётся неизменным, а значит, все касательные к окружности из точки \( A \) будут равны.

Таким образом, все прямые, содержащие боковые стороны равнобедренных треугольников, касаются одной и той же окружности, что и требовалось доказать.