ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 23.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Координаты исходного пятиугольника: \(A(0,0)\), \(B(1,3)\), \(C(3,4)\), \(D(6,1)\), \(E(3,0)\).
Коэффициент подобия \(\frac{1}{2}\), центр подобия \(A\).
Координаты нового пятиугольника:

Для построения подобного пятиугольника с коэффициентом подобия \( \frac{1}{2} \) необходимо понять, что все длины в новом пятиугольнике будут вдвое меньше, чем в исходном. Подобие — это преобразование, при котором сохраняются углы, а длины уменьшаются или увеличиваются на постоянный коэффициент. В данном случае мы выбрали точку \( A \) как центр подобия, то есть все новые точки будут лежать на прямых, соединяющих \( A \) с соответствующими вершинами исходного пятиугольника, но на расстоянии, в два раза меньшем.

Координаты исходных точек пятиугольника \( A(0,0) \), \( B(1,3) \), \( C(3,4) \), \( D(6,1) \), \( E(3,0) \) заданы в системе координат. Чтобы найти координаты новых точек \( A_1, B_1, C_1, D_1, E_1 \), нужно использовать формулу для подобия с центром в точке \( A \):
\( X_1 = X_A + \frac{1}{2}(X — X_A) \),
\( Y_1 = Y_A + \frac{1}{2}(Y — Y_A) \),
где \( (X, Y) \) — координаты исходной точки, а \( (X_1, Y_1) \) — координаты новой точки. Поскольку \( A = (0,0) \), формулы упрощаются до \( X_1 = \frac{1}{2}X \) и \( Y_1 = \frac{1}{2}Y \).

Подставляя координаты, получаем:
\( B_1 = \left( \frac{1}{2} \cdot 1, \frac{1}{2} \cdot 3 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \),
\( C_1 = \left( \frac{1}{2} \cdot 3, \frac{1}{2} \cdot 4 \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \),
\( D_1 = \left( \frac{1}{2} \cdot 6, \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \left( 3, \frac{1}{2} \right) \),
\( E_1 = \left( \frac{1}{2} \cdot 3, \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = \left( \frac{3}{2}, 0 \right) \),
\( A_1 = A = (0,0) \).

Таким образом, новый пятиугольник \( A_1B_1C_1D_1E_1 \) сохраняет форму исходного, но все его стороны и расстояния между точками уменьшены в два раза относительно исходного пятиугольника. Это полностью соответствует условию подобия с коэффициентом \( \frac{1}{2} \).