ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.102 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка С лежит на продолжении диаметра АВ окружности. Прямая CD касательная к окружности. \(\angle ADC\) равен \(120°\). Найдите градусную меру дуги BD.

Угол \(\angle ADC = 120^\circ\). Угол \(\angle ADB = 90^\circ\). Сумма углов в треугольнике \(ADC\) равна \(180^\circ\):

\(\angle ADC + \angle ADB + \angle DAC = 180^\circ\),

откуда \(\angle DAC = 180^\circ — 210^\circ = -30^\circ\) (недопустимо).

Угол \(\angle ACB = 120^\circ\), тогда \(120^\circ = \frac{1}{2} \cdot m(AB)\), откуда \(m(AB) = 240^\circ\).

Градусная мера дуги \(BD\) равна \(360^\circ — m(AB) = 120^\circ\). Угол, опирающийся на дугу \(BD\), равен \(\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).

1. Угол \(\angle ADC = 120^\circ\). Это значение угла задано в условии задачи и является ключевым элементом для дальнейших вычислений.

2. Угол \(\angle ADB = 90^\circ\) является углом, образованным касательной к окружности и радиусом, проведенным в точку касания. Это свойство окружности указывает на то, что угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, всегда равен \(90^\circ\).

3. Рассмотрим треугольник \(ADC\). Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Для треугольника \(ADC\) это можно записать как: \(\angle ADC + \angle ADB + \angle DAC = 180^\circ\). Подставляя известные значения, получаем: \(120^\circ + 90^\circ + \angle DAC = 180^\circ\). Таким образом, \(\angle DAC\) можно найти, решив уравнение: \(\angle DAC = 180^\circ — 210^\circ = -30^\circ\). Поскольку угол не может быть отрицательным, это указывает на необходимость пересмотра условий задачи или использования других свойств углов.

4. Теперь рассмотрим угол \(\angle ACB\), который равен \(120^\circ\). Этот угол опирается на дугу \(AB\) окружности. В соответствии с теоремой о угле, опирающемся на дугу, мы можем записать: \(\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot m(AB)\). Подставив известное значение угла, получаем: \(120^\circ = \frac{1}{2} \cdot m(AB)\). Умножив обе стороны на \(2\), находим градусную меру дуги \(AB\): \(m(AB) = 240^\circ\).

5. Теперь определим градусную меру дуги \(BD\). Дуга \(BD\) является оставшейся частью окружности, которая не охватывается дугой \(AB\). Полный круг имеет \(360^\circ\), поэтому градусная мера дуги \(BD\) равна \(360^\circ — m(AB)\). Подставляя найденное значение дуги \(AB\), получаем: \(m(BD) = 360^\circ — 240^\circ = 120^\circ\). Теперь, учитывая, что угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры дуги, мы можем найти градусную меру дуги \(BD\): \(m(BD) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).