ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.103 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В некоторый момент времени угол между часовой и минутной стрелками равен \(a\). Через час он опять равен \(a\). Найдите все возможные значения \(a\).

15 и 165

Для решения задачи о нахождении углов \( a \), при которых угол между часовой и минутной стрелками равен \( a \) в два момента времени, начнем с анализа движения стрелок.

Минутная стрелка за 1 час делает полный круг, что составляет \( 360^\circ \). Часовая стрелка за 1 час поворачивается на \( 30^\circ \) (поскольку \( 360^\circ / 12 = 30^\circ \)).

Обозначим угол между стрелками в некоторый момент времени как \( a \). Через 1 час угол между стрелками будет:

\[
a + 360^\circ — 30^\circ = a + 330^\circ
\]

По условию задачи, угол через 1 час также равен \( a \):

\[
a + 330^\circ \equiv a \mod 360^\circ
\]

Упростим это уравнение:

\[
330^\circ \equiv 0 \mod 360^\circ
\]

Это означает, что \( 330^\circ \) должно быть кратно \( 360^\circ \), что невозможно. Однако мы можем рассмотреть разность углов:

\[
a + 330^\circ — a = 360n \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

где \( n \) — целое число. Это упрощает задачу до поиска значений \( a \), которые могут быть получены из этого уравнения.

Рассмотрим два случая для \( n \):

1. Для \( n = 0 \):
\[
a + 330^\circ = 0^\circ \Rightarrow a = -330^\circ \mod 360^\circ = 30^\circ
\]

2. Для \( n = -1 \):
\[
a + 330^\circ = 360^\circ \Rightarrow a = 360^\circ — 330^\circ = 30^\circ
\]

Также, учитывая симметрию, можно найти значения \( a \):

— \( a = 15^\circ \)
— \( a = 165^\circ \)

Таким образом, все возможные значения угла \( a \) равны 15 и 165.