ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.104 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках Р и Q. Через точку А первой окружности проведены прямые АР и AQ, пересекающие вторую окружность в точках В и С. Докажите, что касательная в точке А к первой окружности параллельна прямой ВС.

Касательная в точке \( A \) к первой окружности параллельна прямой \( BC \), поскольку углы \( \angle O_2AB \) и \( \angle O_2AC \) равны, что приводит к равенству углов \( \angle O_1AP \) и \( \angle O_1AQ \), следовательно, \( AP \parallel BC \).

Две окружности пересекаются в точках \( P \) и \( Q \). Через точку \( A \) первой окружности проведены прямые \( AP \) и \( AQ \), которые пересекают вторую окружность в точках \( B \) и \( C \).

Обозначим центры окружностей как \( O_1 \) и \( O_2 \). Касательная к первой окружности в точке \( A \) перпендикулярна радиусу \( O_1A \). Обозначим углы: \( \angle O_1AP \) и \( \angle O_1AQ \).

По свойству углов, образованных секущими, имеем:

\[
\angle O_2AB = \angle O_2AC
\]

Это значит, что углы, образованные секущими, равны.

Поскольку касательная \( AP \) перпендикулярна радиусу \( O_1A \), то:

\[
\angle O_1AP = 90^\circ — \angle O_2AB
\]

Аналогично:

\[
\angle O_1AQ = 90^\circ — \angle O_2AC
\]

Так как \( \angle O_2AB = \angle O_2AC \), то:

\[
\angle O_1AP = \angle O_1AQ
\]

Это означает, что касательная в точке \( A \) к первой окружности параллельна прямой \( BC \). Таким образом, мы приходим к выводу, что:

\[
AP \parallel BC
\]