ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.107 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из конца А диаметра АС окружности опущен перпендикуляр АР на касательную, проведённую через лежащую на окружности точку В, отличную от А и С. Докажите, что луч АВ биссектриса угла \(\angle РАС\).

Луч \(AB\) является биссектрисой угла \(\angle PAC\), так как \(\angle ARB = 90^\circ\) и \(\angle OBA = 90^\circ\), что подтверждает равенство углов \(\angle PAB\) и \(\angle CAB\).

Пусть \(O\) — центр окружности, \(A\) и \(C\) — концы диаметра, \(B\) — точка касания, \(R\) — радиус окружности. Касательная \(BV\) перпендикулярна радиусу \(OB\), следовательно, \(\angle OBA = 90^\circ\).

Опустим перпендикуляр \(AR\) на касательную \(BV\). По условию, \(\angle ARB = 90^\circ\). Это значит, что треугольник \(OAB\) является прямоугольным.

В треугольнике \(OAB\) выполняется следующее: \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\). Поскольку \(\angle OBA = 90^\circ\), то \(\angle OAB + \angle AOB = 90^\circ\).

Из свойств углов окружности следует, что угол \(\angle BAC\) равен углу \(\angle OAB\). Таким образом, мы можем записать:

\(\angle PAB = \angle CAB\).

Так как \(AR\) перпендикулярен \(BV\), это подтверждает, что луч \(AB\) делит угол \(\angle PAC\) пополам.

Следовательно, луч \(AB\) является биссектрисой угла \(\angle PAC\).