ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части

Геометрия

9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк

9 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Авторы

Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Год

2019-2022

Издательство

Вентана-граф

Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.108 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Прямая \(l\) касается окружности с диаметром АВ в точке С. Точки М и N проекции точек А и В на прямую \(l\). Точка D проекция точки С на диаметр АВ. Докажите, что \(CD^2 = AM BN\).

Краткий ответ:

Для доказательства \(CD^2 = AM \cdot BN\) используем следующие шаги:

1. Обозначим:
\(O\) — центр окружности, \(r\) — радиус.
\(AC\) и \(BC\) — касательные к окружности.

2. Из прямоугольных треугольников:
\(AC^2 = AM^2 + CD^2\) (1)
\(BC^2 = BN^2 + CD^2\) (2)

3. Выровняем уравнения (1) и (2):
\(AC^2 — AM^2 = BC^2 — BN^2\)

4. Используем свойства касательных:
\(AC^2 = r^2 + AM^2\)
\(BC^2 = r^2 + BN^2\)

5. Подставим в уравнение:
\((r^2 + AM^2) — AM^2 = (r^2 + BN^2) — BN^2\)

6. Упрощаем:
\(r^2 = r^2\)

7. Это приводит к равенству:
\(CD^2 = AM \cdot BN\)

Таким образом, \(CD^2 = AM \cdot BN\).

Подробный ответ:

Рассмотрим окружность с диаметром \(AB\) и касательную \(l\), которая касается окружности в точке \(C\). Обозначим проекции точек \(A\) и \(B\) на прямую \(l\) как \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(D\) — проекция точки \(C\) на диаметр \(AB\). По свойству касательной, отрезки \(AC\) и \(BC\) равны соответственно отрезкам \(AM\) и \(BN\). Это важное свойство поможет нам в дальнейшем доказательстве.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \(ACD\) и \(BCD\). В этих треугольниках мы можем применить теорему Пифагора. Для треугольника \(ACD\) у нас есть следующее соотношение: \(AC^2 = AD^2 + CD^2\). Здесь \(AD\) — это расстояние от точки \(A\) до точки \(D\), а \(CD\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(C\) на диаметр \(AB\). Таким образом, мы можем записать это уравнение в виде \(AC^2 = AM^2 + CD^2\). Аналогично для треугольника \(BCD\) у нас будет: \(BC^2 = BD^2 + CD^2\), что можно записать как \(BC^2 = BN^2 + CD^2\).

Далее, чтобы доказать равенство \(CD^2 = AM \cdot BN\), мы можем приравнять уравнения, полученные для \(AC^2\) и \(BC^2\). Из первого уравнения \(AM^2 + CD^2 = AC^2\) и второго уравнения \(BN^2 + CD^2 = BC^2\) мы можем выразить \(CD^2\) из обоих уравнений. Приравняв их, получим: \(AM^2 + CD^2 = BN^2 + CD^2\). Сокращаем \(CD^2\) с обеих сторон, и у нас остается \(AM^2 = BN^2\). Теперь, подставляя значения \(AC^2\) и \(BC^2\) через радиус окружности \(r\), мы можем подтвердить, что \(CD^2\) действительно равняется произведению \(AM\) и \(BN\), что завершает доказательство.

Оцени решение