ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.109 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность \(S_2\) проходит через центр О окружности \(S_1\) и пересекает её в точках А и В. Через точку А проведена касательная к окружности \(S_2\). Точка D вторая точка пересечения этой касательной с окружностью \(S_1\). Докажите, что \(AD= AB\).

Пусть окружности \( S_1 \) и \( S_2 \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Касательная к окружности \( S_2 \) в точке \( A \) пересекает окружность \( S_1 \) в точке \( D \). Угол \( OAD \) равен \( 90^\circ \).

В треугольнике \( OAD \) по теореме Пифагора:

\[
AD^2 = OA^2 + OD^2
\]

В треугольнике \( OAB \):

\[
AB^2 = OA^2 + OB^2
\]

Так как \( OA = OB \), обозначим \( OA = r \):

\[
AB^2 = r^2 + r^2 = 2r^2
\]

Следовательно, \( AB = r\sqrt{2} \).

Теперь для \( AD \):

\[
AD^2 = r^2 + r^2 = 2r^2
\]

Таким образом, \( AD = r\sqrt{2} \).

Итак, \( AD = AB \).

Пусть окружности \( S_1 \) и \( S_2 \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \), а \( O \) — центр окружности \( S_1 \). Касательная к окружности \( S_2 \) в точке \( A \) пересекает окружность \( S_1 \) в точке \( D \).

Сначала заметим, что угол \( OAD \) равен \( 90^\circ \), так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

В треугольнике \( OAD \) по теореме Пифагора можно записать:

\[
AD^2 = OA^2 + OD^2
\]

Теперь рассмотрим треугольник \( OAB \). Поскольку \( A \) и \( B \) лежат на окружности \( S_1 \), отрезок \( AB \) является хордой окружности. Применим теорему Пифагора в этом треугольнике:

\[
AB^2 = OA^2 + OB^2
\]

Так как \( OA = OB \) (радиусы одной окружности равны), обозначим радиус окружности \( S_1 \) как \( r \). Тогда:

\[
AB^2 = OA^2 + OA^2 = 2OA^2 = 2r^2
\]

Таким образом, получаем:

\[
AB = r\sqrt{2}
\]

Теперь вернемся к треугольнику \( OAD \). Поскольку \( OA = r \), можем переписать уравнение для \( AD \):

\[
AD^2 = r^2 + OD^2
\]

Здесь \( OD \) также равен радиусу окружности \( S_1 \), то есть \( OD = r \). Подставляем это значение:

\[
AD^2 = r^2 + r^2 = 2r^2
\]

Следовательно:

\[
AD = r\sqrt{2}
\]

Таким образом, мы видим, что \( AD = AB \).