ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.111 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности радиусов \(R\) и \(r\) касаются внешним образом. Найдите длину отрезка общей касательной к этим окружностям, концами которого являются точки касания.

Пусть радиус большей окружности равен \(R\), а радиус меньшей окружности равен \(r\). Тогда длина общей касательной к этим окружностям равна \(P = 2 \sqrt{Rr}\). Это следует из того, что длина общей касательной к двум внешне касающимся окружностям равна произведению их радиусов, умноженной на \(2\). Таким образом, \(P = 2 \sqrt{Rr}\).

Длина общей касательной к двум окружностям, которые не пересекаются и не имеют общих точек, может быть вычислена с использованием радиусов этих окружностей. Пусть радиус большей окружности равен \(R\), а радиус меньшей окружности равен \(r\). В этом случае длина общей касательной обозначается как \(P\).

Формула для вычисления длины общей касательной к двум внешне касающимся окружностям имеет вид \(P = 2 \sqrt{Rr}\). Это уравнение выводится из геометрических соображений. Когда мы рассматриваем две окружности, касающиеся друг друга снаружи, можно провести прямую линию, которая будет касательной к обеим окружностям. Эта линия будет образовывать два прямоугольных треугольника, где длины отрезков, соединяющих центры окружностей с точками касания, будут равны радиусам окружностей.

Чтобы лучше понять, почему длина общей касательной равна \(2 \sqrt{Rr}\), рассмотрим два радиуса \(R\) и \(r\) как стороны прямоугольного треугольника, где длина касательной является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, мы можем выразить длину касательной через радиусы окружностей. В результате, после некоторых преобразований, мы приходим к формуле \(P = 2 \sqrt{Rr}\). Это показывает, что длина общей касательной пропорциональна квадратному корню из произведения радиусов окружностей, умноженному на 2.