ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.112 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две равных окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются внутренним образом окружности с центром \(O_3\) и касаются между собой. Периметр треугольника \(O_1O_2O_3\) равен \(18 см\). Найдите радиус большей окружности.

Периметр треугольника \( O_1O_2O_3 \) равен \( 2R \). Стороны треугольника: \( O_1O_2 = 2r \), \( O_1O_3 = R — r \), \( O_2O_3 = R — r \).

Составим уравнение:

\( 2r + (R — r) + (R — r) = 2R \)

Упрощаем:

\( 2r + 2R — 2r = 2R \)

Дано, что \( 2R = 18 \):

\( R = \frac{18}{2} = 9 \)

Радиус большей окружности равен \( 9 \, см \).

Периметр треугольника \( O_1O_2O_3 \) включает в себя три стороны: расстояние между центрами двух равных окружностей \( O_1O_2 \) и расстояния от этих центров до центра большей окружности \( O_3 \). Поскольку окружности равны, длина стороны \( O_1O_2 \) будет равна \( 2r \), где \( r \) — радиус меньших окружностей. Стороны \( O_1O_3 \) и \( O_2O_3 \) равны \( R — r \), где \( R \) — радиус большей окружности. Таким образом, у нас есть полное выражение для периметра треугольника:

\( O_1O_2 + O_1O_3 + O_2O_3 = 2r + (R — r) + (R — r) \).

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\( 2r + (R — r) + (R — r) = 2r + 2R — 2r = 2R \).

Теперь мы знаем, что периметр равен \( 18 \, см \). Это означает, что:

\( 2R = 18 \).

Чтобы найти радиус \( R \) большей окружности, делим обе стороны уравнения на \( 2 \):

\( R = \frac{18}{2} = 9 \, см \).

Таким образом, радиус большей окружности равен \( 9 \, см \).