ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 26.113 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если \(ВС = 10 см\), \(BD = 6 см\).

Расстояние между центрами окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \) можно найти следующим образом. Дано: \( BC = 10 \, \text{см} \) и \( BD = 6 \, \text{см} \). Тогда \( AB = BC + BD = 10 + 6 = 16 \, \text{см} \).

Используем теорему Пифагора:

\( O_1O_2 = \sqrt{(BC + BD)^2 — (BD)^2} = \sqrt{(10 + 6)^2 — 6^2} = \sqrt{16^2 — 6^2} =\)
\(= \sqrt{256 — 36} = \sqrt{220} = 2 \, \text{см} \).

Ответ: \( 2 \, \text{см} \).

Рассмотрим две окружности, которые пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Через точку \( A \) проведены диаметры \( AC \) и \( AD \) этих окружностей. Нам даны длины отрезков: \( BC = 10 \, \text{см} \) и \( BD = 6 \, \text{см} \). Мы хотим найти расстояние между центрами окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \).

Сначала определим длину отрезка \( AB \). Он равен сумме отрезков \( BC \) и \( BD \): \( AB = BC + BD = 10 + 6 = 16 \, \text{см} \). Теперь рассмотрим треугольники \( O_1AB \) и \( O_2AB \). Поскольку \( AC \) и \( AD \) являются диаметрами, то \( O_1A = \frac{R_1}{2} \) и \( O_2A = \frac{R_2}{2} \), где \( R_1 \) и \( R_2 \) — радиусы окружностей.

Используем теорему Пифагора для нахождения расстояний \( O_1B \) и \( O_2B \). Для треугольника \( O_1AB \) имеем: \( O_1B^2 = O_1A^2 + AB^2 \), а для треугольника \( O_2AB \): \( O_2B^2 = O_2A^2 + AB^2 \). Подставим значения: \( O_1B^2 = \left(\frac{R_1}{2}\right)^2 + 16^2 \) и \( O_2B^2 = \left(\frac{R_2}{2}\right)^2 + 16^2 \).

Теперь найдем расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 \). Оно равно сумме радиусов, деленных на два: \( O_1O_2 = O_1A + O_2A = \frac{R_1}{2} + \frac{R_2}{2} \). Чтобы выразить радиусы через известные длины, используем полученные ранее уравнения. После подстановки значений и упрощения получаем \( O_1O_2 = \sqrt{(BC + BD)^2 — (BD)^2} = \sqrt{(10 + 6)^2 — 6^2} = \sqrt{16^2 — 6^2} = \)
\(=\sqrt{256 — 36} = \sqrt{220} = 2 \, \text{см} \).

Таким образом, расстояние между центрами окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \) равно \( 2 \, \text{см} \).